Dinamica dei sistemi rigidi

Facoltà di ScienzeMFN - Materia: Meccanica razionale

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Lezione 4:
Dinamica dei sistemi rigidi

Teoria dei momenti d'inerzia

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

$i=m\cdot{{\delta}}^2$

essendo $\delta$ la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

$I=\sum_{r=1}^n m_{r}\cdot{{\delta_{r}}}^2$

$I=\iiint{\rho\cdot\delta^2 dv}$

essendo dv l'elementino del volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

$\sigma=\sqrt{\frac{I}{M}}$

Essendo:

$M=\sum_{i=1}^n {m_{i}}$

o, nel caso di un sistema continuo:

$M=\iint{\rho dv}$

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

-Teorema di Huygens

Se I è il momrento d'inerzia do S rispettp ad a, $I_{0}$ il momento d'inerzia S rispetto ad $a_{0}$, retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

$I=I_{0}+M\cdot{d^2}$

Energia cinetica di un corpo rigido

L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare $\omega$ e che trasla nello spazio con velocità $v$ è:

$E_k = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega ^2$

dove $M$ è la massa totale del corpo ed $I$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Equazione della dinamica dei corpi rigidi

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle Equazioni cardinali dei sistemi

$\begin{cases} \vec F^{ext} = m \dfrac{d\vec v_c}{dt} = \dfrac{d\vec p_c}{dt}\\ \vec M^{ext} = \dfrac{d \vec L}{dt}\end{cases}$

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

$\begin{cases} \vec F^{ext} = m \dfrac{d\vec v_c}{dt} = \dfrac{d\vec p_c}{dt} = 0\\ \vec M^{ext} = \dfrac{d \vec L}{dt} = 0\end{cases}$

e queste equazioni introducono le Legge di conservazione del momento angolare e fanno parte di una branca della meccanica classica detta statica.

Teorema della derivata della quantità di moto

L'equazione della quantità di moto si scrive dicendo:

${d\vec{Q}\over dt}=\vec{R_{e}}$

essendo:

$\vec{Q}=\sum_{i}m_{i}\vec{v_{i}}=\vec{v_{G}}\sum_{i} m_{i}$

Ora consideriamo un sistema rigido e prendiamo una terna solidale al corpo come terna di riferimento. Questa terna durante il moto rigido traslerà e ruotera per cui l'equazione:

${d\vec{Q}\over dt}=\vec{R_{}e}$

essendo riferita ad assi fissi dovrà essere opportuanmente cambiata.

La velocità del baricentro, se $x_{G},y_{G},z_{G}$ ne sono le coordinate, è data da:

$\vec{v_{G}}=\vec{v_{o}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{}OG$

per cui la quantità di moto totale del sistema è data da:

$\vec{Q}=\vec{v_{G}}\int_{V} dm=\int_{V} (\vec{v_{o}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{OG})dm$

Ora se la terna di riferimento è una terna centrale $\vec{OG}=0$ per cui:

$\vec{Q}=\vec{v_{G}}\int_{V} dm=\int_{V} \vec{v_{o}}dm$

Se 'u', 'v', 'w' sono le componenti di $\vec{v_{G}}$ sui tre assi mobili avremo:

$\vec{Q}=M(u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k})$.

Eseguendo il derivato di $\vec{Q}$ rispetto al tempo e considerando che gli assi di riferimento sono mobili:

${d\vec{Q}\over dt}=M({du\over dt}\vec{i}+{dv\over dt}\vec{j}+{dw\over dt}\vec{k}+u{d\vec{i}\over dt}+v{d\vec{j}\over dt}+w{d\vec{k}\over dt})$

Da cui derivano le tre equazioni scalari che rappresentano l'equazioni della quantità di moto sui tre assi mobili solidali al corpo $\ x,\ y,\ x$:

$M({du\over dt}+qw-rv)=R_{x}$

$M({dv\over dt}+ru-pw)=R_{y}$

$M({dw\over dt}+pv-qu)=R_{z}$

Teorema della derivata del momento della quantità di moto

La seconda equazione cardinale della dinamica è data da:

${d\vec{K}\over dt}=\vec{M_{e}}$

sempre che il punto di riduzione dei momenti sia un punto fisso o il baricentro.

Nel caso di un corpo rigido assumiamo senz'altro che la terna solidale col corpo abbia origine nel baricentro (Terna Centrale). In questo caso $x_{G},\ y_{G},\ z_{G}$ sono nulli.

Allora la velocità di un punto 'P' del sistema è data:

$\vec{v}=\vec{v_{G}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}$

a cui compete una quantità di moto elementare:

$d\vec{Q}=dm(\vec{v_{G}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{PG})$

ed un momento della quantità di moto elementare rispetto al baricentro:

$d\vec{K}=\vec{PG}\wedge\ dm(\vec{v_{G}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}).$

Il momento della quantità di moto totale è dato ovviamente da:

$\vec{K}=\int_{V} \vec{PG}\wedge\vec{v_{G}}dm+\int_{V} \vec{PG}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{PG})dm.$

Il termine $\int_{V} \vec{PG}\wedge\vec{v_{G}}dm$ è zero in quanto la quantità di moto totale è un vettore che passa per il baricentro, per cui:

$\vec{K}=\int_{V} \vec{PG}\wedge(\Omega\wedge\vec{PG})dm.$

Se $\ x, \ y, \ z$ sono le coordinate di $\ P$ e $\ p, \ q, \ r$ le componenti di $\vec{\Omega}$:

$\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=(qz-zy)\vec{i}+(rx-pz)\vec{j}+(py-qx)\vec{k}$

ed ancora:

$\vec{PG}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x&y&z\\(qz-ry)&(rx-pz)&(py-qz)\end{vmatrix}=$

$[y(py-qx)-z(rx-pz)]\vec{i}+[z(qz-ry)-x(py-qx)]\vec{j}+[x(rx-pz)-y(qz-ry)]\vec{k}.$

Per cui possiamo scrivere che:

$K_{x}=p\int_{V} \rho\ (x^2+z^2) dv-r\int_{V} xz\rho\ dv-q\int_{V} xy\rho\ dv$

$K_{y}=q\int_{V} \rho\ (z^2+x^2) dv-r\int_{V} yz\rho\ dv-p\int_{V} xy\rho\ dv$

$K_{z}=r\int_{V} \rho\ (x^2+y^2) dv-p\int_{V} xz\rho\ dv-q\int_{V} zy\rho\ dv$

Ora se la terna di riferimento è una terna principale di inerzia tutti gli integrali del tipo $\int_{V} xz\ dm$ sono nulli quindi il momento della quantità di moto rispetto agli assi mobili è dato da:

$\vec{K}=Ap\vec{i}+Bq\vec{j}+Cr\vec{k}$

Applicando ora l'equazione del momento della quantità di moto e tenendo conto che gli assi sono mobili otteniamo:

${d\vec{K}\over dt}=A\dot{p}\vec{i}+B\dot{q}\vec{j}+C\dot{r}\vec{k}+\Omega\wedge(Ap\vec{i}+Bq\vec{j}+Cr\vec{k})=\vec{M_{e}}$

E quindi le tre equazioni scalari:

$A{dp\over dt}+(C-B)rq=\vec{M_{x}}$

$B{dq\over dt}+(A-C)pr=\vec{M_{y}}$

$C{dr\over dt}+(B-A)pq=\vec{M_{z}}$

Concludendo possiamo dire che un motorigido rimane individuato dalla conoscenza dei suoi sei parametri $\ u,v,w,p,q,$ che corrispondono a sei gradi di libertà del corpo. Per cui note le cause esterne che producono il moto $\vec{R_{e}}$ e $\vec{M_{e}}$ che potranno essere in generale funzioni di $\ u,v,w,p,q,r$ e delle coordinate, è possibile attraverso l'integrazione delle equazioni differenziali scritte e con le opportune condizioni ai limitiindividuare completamente il mptp rigido.