Materia:Meccanica razionale

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Meccanica razionale
Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali	SSD = MAT/07	Corso di Ingegneria edile-architettura Corso di Ingegneria navale

Presentazione Lo sviluppo deduttivo con procedimenti matematici della meccanica si è evoluto in quel corpo della meccanica noto come meccanica razionale. Quanto segue sono delle note volte a fornire alcune minime nozioni, peraltro sufficienti, a tutti coloro che la curiosità stimola alla conoscenza e note di richiamo per quanti ne abbiano necessità.	Programma L'argomento è suddiviso in capitoli: Cap.I°...Cinematica Cap.II°..Statica Cap.III°.Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali Cap.IV°..Dinamica dei sistemi rigidi
Risorse	Verifiche d'apprendimento È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma. ...
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CAP.I°-Cinematica

Cinematica del punto

Moto di un punto P nello spazio

Il moto di P è noto rispetto alla terna Oxyz tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:

$\left\{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}\right.$

In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica

$\bar{\mathbf{OP}}=\bar{\mathbf{OP}}(t)$

Consideriamo il caso che il punto P si muova su di una traettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le

$\left\{\begin{matrix}x=x(s)\\y=y(s)\\z=z(s)\end{matrix}\right.$

e la legge oraria

$S = S (t)$

Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di P lungo la l, cioè in qual maniera nel tempo P percorre gli spazi sulla l.

Velocità scalare

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:

${ds\over dt}=\dot{s}(t)$

Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traettoria definita dalle (1) quando:

$\dot{s}(t)=cost$

Velocità vettoriale

Supponendo che la traettorie di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curvs nel punto P mediante le seguenti formule:

$\left\{\begin{matrix}T_x=\frac{{dx\over ds}}{\sqrt {({dx\over ds})^2+({dy\over ds})^2+({dz\over ds})^2}}={dx\over ds}\\T_y={dy\over ds}\\T_z={dz\over ds}\end{matrix}\right.$

Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:

$\vec{T}=\vec{i} T_x+\vec{j} T_y+\vec{z} T_z$

Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità

$\vec{v}=\dot{s}(t) \cdot\vec{T}$

che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

Accelerazione

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata trispetto al tempo della velocità vettoriale:

$\bar{\mathbf{a}}={d\over dt}\bar{\mathbf{v}(t)}={d\over dt}(\dot{s}\bar{\mathbf{T}})$

Eseguendo la derivazione abbiamo:

$\bar{\mathbf{a}}=\ddot{s}\bar{\mathbf{T}}+\dot{s} {d\over dt}\bar{\mathbf{T}}$

e ricordando che:

$\bar{\mathbf{T}}={d\over ds}x(s)i+{d\over ds}y(s)j+{d\over ds}z(s)k$

e derivando rispetto a t:

${d\over dt}\bar{\mathbf{T}}=i{d^2\over ds^2}x(s){d\over dt}s(t)+j{d^2\over ds^2}y(s){d\over dt}s(t)+k{d^2\over ds^2}z(s){d\over dt}s(t)$

${d\over dt}\bar{\mathbf{T}}=\dot{s}(i{d^2\over ds^2}x(s)+j{d^2\over ds^2}y(s)+k{d^2\over ds^2}z(s))$

Il vettore

$i{d^2\over ds^2}x(s)+j{d^2\over ds^2}y(s)+k{d^2\over ds^2}z(s)$

è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:

$\frac{1}{\rho}=\sqrt{({d^2\over ds^2}x(s))^2+({d^2\over ds^2}y(s))^2+({d^2\over ds^2}z(s))^2}$

che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:

$\dot{a}=\ddot{s}\bar{\mathbf{T}}+\frac{\ddot{s}^2}{\rho}\bar{\mathbf{N}}$

Cinematica dei moti rigidi

Si dice, che il moto di di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazione

Chiameremo con $S 1$ e $S 2$ due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della $S 1$ , non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della $S 2$ .

Se $A 1$ e $A 2$ sono due punti corrispondenti , il vettore $\bar{\mathbf{{A_{1}}{A_{2}}}}$ dicesi lo spostamento del punto $A 1$ . Se:

$\bar{\mathbf{{A_{1}}{A_{2}}}}=\bar{\mathbf{{B_{1}}{B_{2}}}}=.....=\bar{\mathbf{{N_{1}}{N_{2}}}}=\bar{\mathbf{a}}$

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione $S 2$ è dedotta da $S 1$ mediante una traslazione semplice di vettore $\vec{a}$ .Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra $S 1$ $S 2$ , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di $S 1$ , ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra $S 1$ e $S 2$ , poiché

$\vec{AA'}=\vec{BB'}$

e pochè A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di $S 1$ descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Moto di rotazione

Supponiamo ora che le due figure componenti $S 1$ e $S 2$ abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ore un punto $P 1$ di $S 1$ non appartenente all'asse e sia $P 2$ il suo corrispondente in $S 2$ . Mandiamo dal punto $P 1$ la normale all'asse O $P 1$ , e conduciamo anche la O $P 2$ , lo O $P 2$ risulterà essendo $P 2$ corrispondente di $P 1$ normale all'asse ed $O S 2 = O S 1$ .

Allora fecendo descrivere a $P 1$ , l'arco i cerchio $P 1 P 2$ , la figura $S 1$ si sovrapporrà ad $S 2$ , in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui a ruotato il piano $α 1$ formato da $P 1$ e l'asse, per andare a coincidere con il piano $α 2$ formato da $P 2$ e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolare

Preso un piano di riferimento fisso del corpo passante per l'asse e se $θ$ è l'angolo che un piano mobile passante per l'asse forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

$\dot{\theta}={d\over dt} \theta(t)=\omega$

nel caso che

${d^2\over dt^2}\theta(t)=\ddot{\theta}=0$

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettoriale

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore $\vec{\Omega}$ che ha per modulo $ω$ , e direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.

FIGURA

Velocità di un puntoP in un moto di rotazione.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

$\vec{v_{p}}= \vec{\Omega}\wedge\vec{OP}$

Moto elicoidale

Il mptp rigido costituito da una rotazione del corpo con velovità $\vec{\Omega}$ intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza $\vec{a}$ , si chiama mpto rigido elicoidale. Le traettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con $\vec{v_{p}}$ e $\vec{v_{0}}$ le loro velocitàad un certo istante t. Si dimostra che:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{OP}$

Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento $\boldsymbol{\xi}$ , $\boldsymbol{\eta},$ , $\boldsymbol{\zeta}$ , e se $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

$\vec{OP}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$

Per cui la velocità di P, $v p$ , è uguale a ${d\over dt}\vec{O_{1}P}$ , mentre quelli di =, $v 0$ , è data da ${d\over dt}\vec{O_{1}O}$ . Posto ciò abbiamo che:

${d\over dt}\vec{OP}={d\over dt}\vec{O_{1}P}-{d\over dt}\vec{O_{1}O}=\vec{v_p}-\vec{v_0}$

Il vettore ${d\over dt}\vec{i}$ potrà essere epresso in generale come:

${d\over dt}\vec{i}=a{d\over dt}\vec{i}+b{d\over dt}\vec{j}+c{d\over dt}\vec{k}$

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}+x{d\over dt}\vec{i}+y{d\over dt}\vec{j}+z{d\over dt}\vec{k}$

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$ . La (8) si riduce alloraa:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+x{d\over dt}\vec{i}+y{d\over dt}\vec{j}+z{d\over dt}\vec{k}$

Vogliamo ora dimostrare che:

$\left\{\begin{matrix}{d\over dt}\vec{i}=\vec\Omega\wedge\vec{i}\\{d\over dt}\vec{j}=\vec\Omega\wedge\vec{j}\\{d\over dt}\vec{k}=\vec\Omega\wedge\vec{k}\end{matrix}\right.$

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale	prodotto scalare
$\vec{i}\wedge\vec{i}=\vec{j}\wedge\vec{j}=\vec{k}\wedge\vec{k}=0$	$\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=1$
$\vec{i}\wedge\vec{j}=-\vec{j}\wedge\vec{i}=\vec{k}$	$\vec{i}\times\vec{j}=0$
$\vec{j}\wedge\vec{k}=-\vec{k}\wedge\vec{j}=\vec{i}$	$\vec{j}\times\vec{k}=0$

Inoltre possiamo scrivere:

${d\over dt}(\vec{i}\times\vec{i})=\vec{i}\times{d\vec{i}\over dt}+{d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=2({d\vec{i}\over dt}\times\vec{i})=0$

${d\over dt}(\vec{i}\times\vec{j})={d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}+\vec{i}\times{d\vec{j}\over dt}=0$

${d\over dt}(\vec{j}\times\vec{k})={d\vec{j}\over dt}\times\vec{k}+\vec{j}\times{d\vec{k}\over dt}=0$

cioè

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=0$
${d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}=-\vec{i}\times{d\vec{j}\over dt}$
${d\vec{j}\over dt}\times\vec{k}=-\vec{j}\times{d\vec{k}\over dt}$

Il vettore ${d\vec{i}\over dt}$ potrà essere espresso in generale come:

${d\vec{i}\over dt}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ otteniamo:

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=a\vec{i}\times\vec{i}+b\vec{j}\times\vec{i}+c\vec{k}\times\vec{i}=a=0$

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}=a\vec{i}\times\vec{j}+b\vec{j}\times\vec{j}+c\vec{k}\times\vec{j}=b$

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{k}=a\vec{i}\times\vec{k}+b\vec{j}\times\vec{k}+c\vec{k}\times\vec{k}=c$

Si ottiene

${d\vec{i}\over dt}=({d\vec{i}\over dt}\times\vec{j})\cdot\vec{j}+({d\vec{i}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{k}$

$=({d\vec{j}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{i}\wedge\vec{i}+({d\vec{k}\over dt}\times\vec{i})\cdot\vec{j}\wedge\vec{i}+({d\vec{i}\over dt}\times{j})\cdot\vec{k}\wedge{i}$ .

E se definiamo:

$\vec{\Omega}=({d\vec{j}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{i}+({d\vec{k}\over dt}\times\vec{i})\cdot\vec{j}+({d\vec{i}\over dt}\times\vec{j})\cdot\vec{k}$

otteniamo le (10):

${d\vec{i}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge\vec{i}$ ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigido

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

$\vec{V_{p}}=\vec{V_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed $\vec{\Omega}$ il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

${d\over dt}\vec{V_{p}}={d\over dt}\vec{V_{0}}+\vec{\Omega}\wedge{d\over dt}\vec{(OP)}+{d\over dt}\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

Cioè:

$\vec{a_{p}}=\vec{a_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}+{d\over dt}\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

In quanto per le (13) si ha:

${d\over dt}\vec{(OP)}= \vec{V_{p}}-\vec{V_{0}}= \vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

$\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}=(\vec{\Omega}\times\vec{(OP)})\cdot\vec{\Omega}-(\vec{\Omega}\times\vec{\Omega})\cdot\vec{(OP)}$

Le espresioni cartesiane delle componenti di $\vec{a_{p}}$ rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

$\ddot{x}=\dot{u_{0}}+(px+qy+rz)\cdot{p}-(p^2+q^2+r^2)\cdot x+(\dot{q} z-\dot{z} y)$

$\ddot{y}=\dot{v_{0}}+(px+qy+rz)\cdot{q}-(p^2+q^2+r^2)\cdot{y}+(\dot{z}x-\dot{p}z)$

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi

velocità

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili $x m$ $y m$ $z m$ sono date proiettando la formula fondamentale:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}\wedge(\vec{OP)}$

Cinematica del punto nel moto relativo

Teorema di Coriolis

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

1-Parametri del moto della terna mobile.

2-Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

Velocità assoluta

O,x,y,z è il sistema di assi mobilii ed il suo moto è individuato dalle componenti della velocità di traslazione $u o$ , $v o$ , $w o$ del punto O rispetto agli assi stessi, e dal vettore rotazione $\bar{\mathbf{\Omega}}$ diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti rispetto agli assi mobili p, q, r.

Se $O f$ è l'origie degli assi fissi avremo:

$\bar{\mathbf{O_{f}P}}=\bar{\mathbf{O_{f}O}}+\bar{\mathbf{OP}}$

La velocità assoluta è data da:

Accelerazione assoluta

CAP.II°-Statica

La statica si occupa dell'equilibrio dei corpi allorquando sono soggetti all'azione di forze nelle condizioni di quiete o di moto rettilinio uniforme.

Forza e momento di una forza

Forza

Si chiama forza qualsiasi causa esterna che tende a modificare lo stato di quite o di moto di un corpo. Essa è un vettore in quanto per definirla occorre conoscere il modulo (intensità della forza), la direzione (retta di azione9 ed il verso di azione.

Momento di una forza rispetto ad un asse

Preso un asse ab ed un vettore $\vec{AB}$ , e chiamato con $\vec{h}$ la distanza della retta d'azione dall'asse ab, si chiama momento di $\vec{AB}=\vec{F}$ (essendo $\vec{AB}$ una forza) il numero

$M_{ab}=h\cdot{|F|}sen(a)$

Essendo a l'angolo che forma la retta di azione di $\vec{F}$ con l'asse rispetto a cui stiamo eseguendo il momento. Il segno ± a seconda che $\vec{AB}$ sia antiorario o orario rispetto ad ab. Il momento assiale è nullo ogni qualvolta la forza $\vec{F}$ e l'asse sono complanari.

Momento di una forza rispetto ad un punto

Sia O un punto dello spazio: si definisce come momento di una forza $\vec{F}$ rispetto ad O il prodotto vettorial

$M_{o}=\vec{(OA)}\wedge\vec{F}=|OA|\cdot{|F|}\cdot{sen(\alpha)}\vec{n}$

Se in O poniamo un riferimento cartesiano, il momento di $\vec{F}$ , di componenti $F x$ , $F y$ , $F z$ rispetto ai tre assi, applicato in P di coordinate x,y,z, rispetto ad O, viene determinbato da:

$\begin{Vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x&y&z\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{Vmatrix}$

che si riduce a:

$M=(F_{x}y-F_{y}z)\vec{i}+(F_{x}z-F_{z}x)\vec{j}+(F_{y}x-F_{x}y)\vec{k}$

Mentre i momenti di $\vec{F}$ rispetto ai tre assi sono ovviamente dati da:

$M_{x}=F_{z}\cdot{y}-F_{y}\cdot{z}$
$M_{y}=F_{x}\cdot{z}-F_{z}\cdot{z}$
$M_{z}=F_{y}\cdot{x}-F_{x}\cdot{y}$

Teoremi generali sui sistemi di forze

Risultante e momento risultante

Si chiama sistema di forze l'insieme di più forze applicate ad un corpo. Chiamiamo risultante del sistema di forze il vettore di componenti

$R_{x}=\sum_{i=1}^n F_{xi}$	$R_{y}=\sum_{i=1}^n F_{yi}$	$R_{z}=\sum_{i=1}^n F_{zi}$

essendo $F x i$ , $F y i$ e $F z i$ le componenti rispetto ai tre assi della generica forza $\vec{F_{i}}$ .

Mentre chiamiamo momento risultante del sistema rispetto ad un punto P( $x p, y p, z p$ ) il vettore di componenti

$M_{x}=\sum_{i=1}^n[(y_{i}-y_{p})F_{zi}-(z_{i}-z_{p})F_{yi}]$
$M_{y}=\sum_{i=1}^n[(z_{i}-z_{p})F_{xi}-(x_{i}-x_{p})F_{zi}]$
$M_{z}=\sum_{i=1}^n[(x_{i}-x_{p})F_{yi}-(y_{i}-y_{p})F_{xi}]$

Essendo $x i$ , $y i$ , $z i$ le coordinate del punto di applicazione $A i$ della generica forza $\vec{F_{i}}$ .

Sistemi di forze particolari

Sistema di forze concorrenti

Se tutte le forze concorrono in un punto A, la risultante passa per A, mentre il momento risultante rispetto ad un punto P coincide con il momento della risultante. Invero dalle (2), essendo tutti i punti di applicazione delle forze coincidenti con il punto A, si ottiene

$M_{x}=(x_{A}-x_{p})\sum_{i=1}^n F_{zi}-(y_{A}-y_{p})\sum_{i=1}^n F_{yi}$
$M_{y}=(z_{A}-z_{p})\sum_{i=1}^n F_{xi}-(x_{A}-x_{p})\sum_{i=1}^n F_{zi}$
$M_{z}=(x_{A}-x_{p})\sum_{i=1}^n F_{yi}-(y_{A}-y_{p})\sum_{i=1}^n F_{xi}$

Sistema nullo

Si dice che il sistema di forze è nullo allorquando accade:

$\vec{R}=0$

$\vec {M}=0$ (rispetto ad un polo qualsiasi)

Sistema di forze parallele

-a)Se tutte le forze costituenti il sistema sono parallele ad una retta r data, il sistema gode di particolari proprietà. In quanto il modulo del risultante è dato direttamente dalla somma delle $\vec{|F|}$

$\vec{|R|}=\sum{\vec{|F|}}$

ed è diretto come la retta r cioè

. $\vec{R}=\sum{\vec{|F|}}\cdot{r}$

Dinamica del punto materiale e dei sitemi di punti materiali

dinamica del punto materiale

leggi fondamentali

seconda legge della dinamica

La seconda legge della dinamica esprime la proporzionalità in senso vettorriale fra la forza e la derivata vettoriale del vettore $m\bar{\mathbf{v}}$ . Cioè:

$\bar{\mathbf{F}}={d\over dt}(m\bar{\mathbf{v}})$

Il vettore $m\bar{\mathbf{v}}$ rappresenta la quantità di moto del punto materiale considerato, ed è dato dal prodotto dello scalare m massa del corpo per il vettore $\bar{\mathbf{v}}$ velocità assoluta del corpo. La massa del corpo è data invece dal rapporto fra il peso $\bar{\mathbf{P}}$ del corpo e l'accelerazione di gravità $\bar{\mathbf{g}}$ .

Nel caso che m=cost la (1) si trsforma nella seguente:

$\bar{\mathbf{F}}=m {d\over dt}\bar{\mathbf{v}}(t)=m \bar{\mathbf{a}}$

Essendo $\bar{\mathbf{a}}$ l'accelerazione assoluta del punto materiale, cioè l'accelerazione del punto misurata rispetto ad un sistema di riferimento fisso o che si muove di moto uniforme rettilineo (terna di riferimento inerziale).

Quindi la formula:

$\bar{\mathbf{F}}=m \bar{\mathbf{a}}$

per essere applicata correttemente deve sempre essere intesa come riferita ad un istema fisso o che si muove di moto uniforme rettilineo.

espressione delle equazioni del moto di un punto rispetto ad un riferimento fisso

espressione delle equazioni del moto di un punto rispetto ad un sistema di riferimento mobile

Dinamica dei sistemi di punti

Equazione del moto per un sistema di punti e teorema del baricentro

momento della quantità di moto

energia cinetica e teorema dell'energia

energia cinetica di un punto materiale

lavoro di una forza

potenziale

Dinamica dei sistemi rigidi

Teoria dei momenti d'inerzia

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

$i=m\cdot{{\delta}}^2$

essendo $δ$ la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

$I=\sum_{r=1}^n m_{r}\cdot{{\delta_{r}}}^2$

$I=\iiint{\rho\cdot\delta^2 dv}$

essendo dv l'elementino del volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

$\sigma=\sqrt{\frac{I}{M}}$

Essendo:

$M=\sum_{i=1}^n {m_{i}}$

o, nel caso di un sistema continuo:

$M=\iint{\rho dv}$

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

-Teorema di Huygens

Se I è il momrento d'inerzia do S rispettp ad a, $I 0$ il momento d'inerzia S rispetto ad $a 0$ , retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

$I=I_{0}+M\cdot{d^2}$

Energia cinetica di un corpo rigido

Equazione dells dinamica dei corpi rigidi

Teorema della derivata della quantità di moto

Teorema della derivata del momento della quantità di moto

Lavoro di una forza in uno spostamento gigido

Giroscopio

Moto di precessione libera di un giroscopio

Energia cinetica di un giroscopio

Momento di un giroscopio simmetrico

Giroscopio pesante