Compattezza di un insieme

Da Wikiversità, l'università aperta.

Materia:Analisi matematica > Compattezza di un insieme

Avanzamento lezione: 75% al 26-11-2009.

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1 Compattezza di un insieme
- 1.1 Lemma
  - 1.1.1 Dimostrazione

[modifica] Compattezza di un insieme

Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice compatto se da ogni successione di punti di $A$ si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di $A$ .

Prima di vedere alcune proprietà degli insiemi compatti, premettiamo il seguente Lemma.

[modifica] Lemma

$A$ chiuso $\Longleftrightarrow$ $(x n)$ successione in $A\ :\ x_n \to x_0$ $\Rightarrow x_0 \in A$ .

[modifica] Dimostrazione

$\Rightarrow )\$ $A$ chiuso significa $A = \overline{A}$ , dunque se $x_0 \in A$ ed $A$ è chiuso, allora $x_0 \in \overline{A}$ .
Ora, considerando una successione $x n$ convergente ad un $x_0 \in \mathbb{R}$ , per il Lemma 1.1.2 (al quale sostituiamo $A\setminus \{x_0\}$ con $A$ ) $x_0 \in \overline{A}$ e dunque $x_0 \in A$ .

$\Leftarrow )\$ Se ogni successione in $A$ convergente a $x 0$ implica che $x_0 \in A$ ,deve per forza essere $A$ chiuso. Infatti, se per assurdo $A\neq \overline{A}$ , esiste almeno un $x_0 \in \overline{A}$ che però non sta in $A$ .

Però, sempre per il Lemma 1.1.2 (e sempre sostituendo gli insiemi in considerazione),se $x_0 \in \overline{A}$ esiste una successione in $A$ convergente a $x 0$ . Ma abbiamo ipotizzato prima che ogni successione in $A$ convergente ad un punto $x_0 \in \mathbb{R}$ implicasse $x_0 \in A$ ! Cadiamo in contraddizione e dunque completiamo così la dimostrazione.

$\Box$

Nota:
completare gli ultimi due teoremi

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[modifica] Lemma

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