Calcolo degli integrali di Riemann

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Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Materia:Analisi matematica > Calcolo degli integrali di Riemann

Nella lezione precedente abbiamo visto alcuni teoremi che ci permettono di stabilire l'integrabilità o meno di una funzione in base a certi criteri. Tuttavia, una volta stabilita l'integrabilità, si pone spesso il problema di calcolare effettivamente il valore dell'integrale e questa operazione può essere anche molto complessa. Vediamo allora alcuni teoremi e alcune tecniche che ci permettono, se sono rispettate certe condizioni, di ricondurci al caso di integrali più semplici da calcolare.

[modifica] Algebra degli integrali di Riemann

Siano $f,g \in \mathcal{R}_{[a,b]},\ \lambda \in \mathbb{R}$ :

[modifica] Somma di integrali

$\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$

cioè l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali. Infatti, siano $σ'$ e $σ''$ due scomposizioni di $[a, b]$ qualsiasi e $\sigma = \sigma' \cup \sigma''$ , cioè $σ$ è più fine delle altre due scomposizioni. Abbiamo allora:

$\int_a^{\_ b}(f(x)+g(x))dx \leq S(f+g,\sigma)\leq S(f,\sigma)+S(g,\sigma)\leq S(f,\sigma')+s(g,\sigma'')$

Dunque

$\int_a^{\_ b}(f(x)+g(x))dx \leq \int_a^{\_ b}f(x)dx+\int_a^{\_ b}g(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$

D'altra parte

$\int_{\_ a}^b (f(x)+g(x))dx \geq \int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$

In conclusione

$\int_a^{\_ b}(f(x)+g(x))dx \leq \int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx \leq \int_{\_ a}^b (f(x)+g(x))dx \leq \int_a^{\_ b} (f(x)+g(x))dx$

Ma il primo e l'ultimo membro sono uguali! Dunque tutti questi $\leq$ sono in realtà uguaglianze ed in definitiva

$\int_a^{\_ b}(f(x)+g(x))dx = \int_{\_ a}^b (f(x)+g(x))dx= \int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$

[modifica] Moltiplicazione di un integrale per un numero reale

$\int_a^b \lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$

Infatti, se $\lambda \neq 0$ (altrimenti l'affermazione è banale), si ha per $λ > 0$ :

λ S (f,σ) = S (λ f,σ)

λ s (f,σ) = s (λ f,σ)

Se $λ < 0$

λ S (f,σ) = s (λ,σ)

λ s (f,σ) = S (λ f,σ)

[modifica] Ordine tra integrali

Supponiamo $f(x) \leq g(x),\ \forall x \in [a,b]$

$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x)$

Infatti $f(x) \leq g(x),\ \forall x \in [a,b] \Rightarrow S(f,\sigma) \leq S(g,\sigma),\ \forall \sigma \in \Omega_{[a,b]}$ e di conseguenza $\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$ .

[modifica] Valore assoluto di un integrale

Sia $|f| \in \mathcal{R}_{[a,b]}$ . Allora

$\left| \int_a^b f(x)fx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx$

Infatti, prendiamo un $\varepsilon >0$ e una scomposizione $\sigma = \{x_0,\dots,x_n\}$ tale che $S(f,\sigma)-s(f,\sigma)< \varepsilon$ . Allora:

$S(|f|,\sigma)-s(|f|,\sigma)=\sum_{i=1}^n \left(\sup_{I_i}|f|-\inf_{I_i}|f|\right)(x_{i+1}-x_i) \leq$ $\sum_{i=1}^n \left(\sup_{I_i}f-\inf_{I_i}f\right)(x_{i+1}-x_i) \leq S(f,\sigma)-s(f,\sigma) < \varepsilon$

Per il Teorema di Riemann abbiamo provato che $| f |$ è integrabile secondo Riemann in $[a, b]$ . Osserviamo ora che $\pm f \leq |f|$ e per le proprietà viste sopra abbiamo

$\pm \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b|f(x)|dx$

Dunque

$\left| \int_a^b f(x)dx\right| = \max \left\{\int_a^b f(x)dx, -\int_a^b f(x)dx \right\} \leq \int_a^b |f(x)|dx$

[modifica] Teoremi

[modifica] Teorema (della media integrale)

Sia $f$ una funzione integrabile secondo Riemann in $[a, b]$ . Poniamo $\mu := \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$ , allora si ha che

$\inf_{[a,b]} f\leq \mu \leq \sup_{[a,b]} f$ .

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (fondamentale del calcolo integrale)

Sia $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$ . Poniamo

$I_f:[a,b]\to \mathbb{R},\ \ I_f(x)=\int_a^x f(t)dt$

Allora:

$I f$ è continua in ogni punto di $[a, b]$ .
se $f$ è continua in $x 0$ , allora $I f$ è derivabile in $x 0$ e si ha $I f'(x 0) = f (x 0)$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $x_0 \in [a,b]$ e prendiamo un numero $h \neq 0$ tale che $x_o+h \in [a,b]$ . Abbiamo che

$I_f(x_0+h)-I_f(x_0)=\int_a^{x_0+h}f(t)dt - \int_a^{x_0}f(t)dt=\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt = \mu (h)h$

ove $\mu (h) = \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt$ . Per il Teorema della media integrale abbiamo che $\inf_{[x_0,x_0+h]}f \leq \mu (h) \leq \sup_{[x_0,x_0+h]}f$ . Dunque

$\lim_{h\to 0}(I_f(x_0+h)-I_f(x_0))=0$

Quindi

I f

è continua.

2. Sia

x 0

un punto di continuità di

f

. Preso dunque un numero positivo $\varepsilon$ , esiste un altro numero positivo

δ

tale che $|t-x_0|<\delta,\ \ \forall t \in [a,b]$ abbiamo

$f(x_0)-\varepsilon < f(t)<f(x_0)+\varepsilon$

dunque

Nota:
problema con la dimostrazione. chiedere al prof.

[modifica] Corollario (integrabilità in ogni punto di un intervallo di funzioni continue)

Sia $f$ una funzione continua in $[a, b]$ e sia $x 0$ un punto dell'intervallo. Poniamo $I(x)=\int_{x_0}^x f(t)dt$ , si ha per ogni $x \in [a,b]$ ,

I'(x) = f (x)

.

[modifica] Dimostrazione

Scomponiamo questo integrale come somma di più integrali. Abbiamo:

$I(x)=\int_{x_0}^x f(t)dt=\int_{x_0}^a f(t)dt + \int_a^x f(t)dt = \int_a^{x_0} f(t)dt + \int_a^x f(t)dt$

Ora, notiamo che $\int_a^{x_0} f(t)dt$ è una costante reale nella funzione $I$ , dunque poniamo $\int_a^{x_0} f(t)dt = c$ .

Adesso, abbiamo che

$\left( c + \int_a^x f(t)dt\right)'= \left(c+ I_f(x)\right)'= f(x)$

.

$\Box$

[modifica] Corollario

Sia $f \in \mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$ , allora

$\int_a^b f'(x)dx = f(b)-f(a)$

[modifica] Dimostrazione

Innanzitutto, essendo $f'(x)$ una funzione continua, essa è integrabile secondo Riemann in $[a, b]$ . Inoltre $f$ è una primitiva di $f'$ , per la definizione di primitiva. Per il precedente corollario

$\int_a^b f'(x)dx = [f(x)]_a^b=f(b)-f(a)$

$\Box$

[modifica] Teorema (integrabilità delle funzione dotate di primitiva)

Definiamo il concetto di primitiva di una funzione. Consideriamo una funzione $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ . Una funzione $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ derivabile in ogni punto del suo dominio e tale che $F'(x) = f (x)$ si dice primitiva di $f$ .

Per il precendente corollario, sappiamo ora una cosa molto importante: ogni funzione continua ha almeno una primitiva, cioè la sua funzione integrale!

Enunciamo ora il seguente, fondamentale, Teorema:

Sia $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$ ed $F$ una sua primitiva. Allora si ha

$\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$

[modifica] Dimostrazione

Per ipotesi $f$ è integrabile, dunque per il Teorema di Riemann $\forall \varepsilon > 0 \exists \sigma \in \Omega_{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma)-s(f,\sigma) < \varepsilon$ . Ora, osserviamo che possiamo scrivere $F (b) - F (a)$ in termine di scomposizioni, cioè

$F(b)-F(a)=F(x_n)-F(x_0) = \sum_{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))$

Per il Teorema del valor medio, sappiamo che esiste un $c_i \in ]x_{i-1},x_i[\ :\ F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(c_i)(x_i-x_{i-1})$

cioè

f (c i)(x i - x i - 1)

perché $F$ è una primitiva di $f$ .

Mettendo insieme le due espressioni, otteniamo:

$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f(c_i)(x_i-x_{i-1})\leq \sum_{i=1}^n \sup_{[x_{i-1},x_i]}f \cdot (x_i-x_{i-1})$ $=S(f,\sigma) < s(f,\sigma)+\varepsilon \leq \int_a^b f(x)dx + \varepsilon$ $F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f(c_i)(x_i-x_{i-1})\geq \sum_{i=1}^n \inf_{[x_{i-1},x_i]}f \cdot (x_i-x_{i-1})$ $=s(f,\sigma) > S(f,\sigma)-\varepsilon \geq \int_a^b f(x)dx - \varepsilon$

Dunque,

$F(b)-F(a) = \int_a^b f(x)dx$

$\Box$

Prima di proseguire, è fondamentale tenere bene a mente che l'esistenza di una primitiva non è condizione necessaria per l'integrabilità e nemmeno sufficiente. Infatti esistono funzioni che non hanno primitiva ma sono integrabili, così come esistono funzioni che hanno primitiva ma non sono integrabili secondo Riemann.

[modifica] Integrazione per parti

Siano $f \in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ , $g \in \mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$ ed $F$ una primitiva di $f$ . Allora

$\int_a^b f(x)g(x)dx = [F(x)g(x)]_a^b - \int_a^b F(x)g'(x)dx$

[modifica] Dimostrazione

$F, g$ sono funzioni derivabili, dunque $Fg \in \mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$ e si ha

$[F(x)g(x)]_a^b = \int_a^b (F(x)g(x))' dx = \int_a^b (F'(x)g(x)+F(x)g'(x))dx = \int_a^b f(x)g(x)dx + \int_a^b F(x)g'(x)dx$

$\Box$

[modifica] Integrazione per sostituzione (o cambio di variabile)

Sia $f \in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ e sia $\varphi:[\alpha,\beta] \to [a,b]$ una funzione biiettiva. Allora, se $\varphi \in \mathcal{C}^1$ abbiamo

$\int_a^b f(x)dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$

[modifica] Dimostrazione

Nota:
fare la dimostrazione, non è molto chiara sul libro.

Calcolo degli integrali di Riemann

Da Wikiversità, l'università aperta.

Indice

[modifica] Algebra degli integrali di Riemann

[modifica] Somma di integrali

[modifica] Moltiplicazione di un integrale per un numero reale

[modifica] Ordine tra integrali

[modifica] Valore assoluto di un integrale

[modifica] Teoremi

[modifica] Teorema (della media integrale)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (fondamentale del calcolo integrale)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Corollario (integrabilità in ogni punto di un intervallo di funzioni continue)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Corollario

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema (integrabilità delle funzione dotate di primitiva)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Integrazione per parti

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Integrazione per sostituzione (o cambio di variabile)

[modifica] Dimostrazione

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