Calcolo vettoriale

Dovendo trattare sia di quantità scalari che di quantità vettoriali, utilizzeremo lettere corsive (minuscole o maiuscole) per le grandezze scalari (siano esse costanti o funzione di una o più variabili), lettere in grassetto minuscolo per le grandezze vettoriali e lettere in grassetto maiuscole per le matrici.

Ad esempio, mentre le lettere A ed a rappresentano delle grandezze scalari, la lettera a rappresenta un vettore, ed in particolar modo un vettore colonna.

Riferendoci ai vettori nel corso delle lezioni utilizzeremo un altro tipo di rappresentazione: la notazione indiciale. Il vettore colonna a composto da n componenti potrà essere rappresentato indifferentemente sia con il simbolo a sia con la notazione $a_{i}$, dove i è un numero naturale al variare del quale varia la componente del vettore a. Ad esempio, dato il vettore a di tre componenti, esso può essere rappresentato sia mediante il vettore colonna a ${\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}$ sia mediante la notazione indiciale $a_{i}$ con i=1,2,3.

La prima operazione che introduciamo sui vettori è l'operazione di trasposizione, indicata con l'apice $^{t}$. Trasporre un vettore colonna ci porta a scrivere un vettore riga avente le stesse componenti (nello stesso ordine!) del vettore colonna. Ad esempio, il vettore colonna a visto in precedenza può essere trasposto e a$^{t}$ ha la rappresentazione vettoriale ${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}$

Se adesso volessimo rappresentare il vettore a$^{t}$ in notazione indiciale, quale indice potremmo utilizzare? La particolarità (e spesso il disagio) di utilizzare la notazione indiciale consiste nel fatto che il vettore $a_{i}$ può rappresentare indifferentemente un vettore riga o un vettore colonna. Di volta in volta chiariremo, quando tratteremo formule scritte in notazione indiciale, se stiamo parlando di vettori riga o vettori colonna.

Le operazioni di calcolo vettoriale analitico che ci interessano sono:

• Modulo di un vettore
• Prodotto scalare di due vettori
• Prodotto vettoriale di due vettori

Il modulo di un vettore ha il significato fisico si lunghezza del segmento e si calcola applicando il Teorema di Pitagora in 2 oppure 3 dimensioni, a seconda del tipo di vettore. Per un generico vettore in n dimensioni la formula è: $\|\mathbf {a} \|={\sqrt {\mathbf {a} ^{t}\mathbf {a} }}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}a_{i}^{2}}}$

Il prodotto scalare tra due vettori è un numero reale definito come $x=\mathbf {a} ^{t}\mathbf {b} =\mathbf {b} ^{t}\mathbf {a} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{i}b_{i}$

Infine il prodotto vettoriale tra due vettori è il vettore risultante dal calcolo del determinante della matrice ${\begin{vmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$ dove $e_{1}e_{2}e_{3}$ rappresentano i tre versori di un sistema di riferimento destrorso rispetto al quale sono state determinate le componenti $a_{1}a_{2}a_{3}$ del vettore a e le componenti $b_{1}b_{2}b_{3}$ del vettore b.

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