Altri criteri di integrabilità secondo Riemann

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Indice

[modifica] Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)

Sia f una funzione continua in [a,b] a valori reali. Allora f \in \mathcal{R}_{[a,b]}.

[modifica] Dimostrazione

f è continua in [a,b] per ipotesi, dunque |f(x)-f(x')|< \varepsilon,\ \forall \varepsilon,\delta >0,\forall x,x' \in [a,b], \ |x-x'|<\delta.

Sia poi \sigma=\{x_0,\dots,x_n\} una scomposizione con parametro di finezza | σ | < δ. Si ha

S(f,\sigma)-s(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n(\sup_{I_i}f-\inf_{I_i}f)(x_{i+1}-x_i) .

Per il Teorema di Weierstrass, per ogni i \in \{1,2,\dots,n\} esistono degli xi',xi'' tali che f(x_i') = \sup_{I_i}f e f(x_i'')=\inf_{I_i}.

Si ha inoltre che |x_i'-x_i''|\leq {\rm mis}I_i \leq |\sigma| \leq \delta,\ \forall i\in \{1,2,\dots,n\} e per la continuità, abbiamo f(x_i')-f(x_i'') < \varepsilon e infine

S(f,\sigma)-s(f,\sigma) < \sum_{i=1}^n \varepsilon \cdot {\rm mis}I_i = \varepsilon \sum_{i=1}^n{\rm mis}I_i= \varepsilon (b-a)

E abbiamo già finito, perché per il Teorema di Riemann concludiamo che f \in \mathcal{R}_{[a,b]}.

\Box


[modifica] Corollario (integrabilità delle funzioni monotone in un intervallo chiuso)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione limitata e sia c \in ]a,b[. Allora

f\in \mathcal{R}_{[a,b]} \Longleftrightarrow f\in \mathcal{R}_{[a,c]} \wedge f\in \mathcal{R}_{[c,b]} .
[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo aperto)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione
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