Teoria classica del consumatore

Obiettivi della lezione

• Presentazione del problema primale del consumatore e derivazione della domanda marshalliana e della funzione di utilità indiretta
• Presentazione del problema duale del consumatore e derivazione della domanda hicksiana e della funzione di spesa
• Individuazione dei collegamenti tra di due problemi del consumatore

Il problema del consumatore

Nel corso della prima lezione abbiamo capito come arrivare dalle preferenze ad una funzione di utilità che le rappresenti. Siamo quindi in grado di rappresentare ciò che il consumatore desidera. Tuttavia il consumatore non è in grado di ottenere tutti i panieri dell'insieme di consumo, ma solo una parte di essi, in quanto è tenuto a rispettare un vincolo di bilancio, tale che egli non spenda più delle risorse che ha a disposizione.

Il vincolo di bilancio è determinato, quindi, dalla quantità di risorse a disposizione, la ricchezza $y\in \mathbb {R} _{+}$ e dai prezzi che è tenuto a pagare per entrare in possesso dei beni, $\mathbf {p} \in \mathbb {R} _{+}^{n}$. Possiamo quindi indentificare l'insieme di bilancio come $B=\left\{\mathbf {x} \in X|\mathbf {p} \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\leq y\right\}$

Da tale definizione dovrebbe risultare chiaro che stiamo assumendo che i prezzi siano lineari, ossia che il prezzo di un bene non vari al variare della quantità consumata dello stesso bene e degli altri beni. Ciò esclude, quindi, gli sconti quantità, tasse progressive (nei modelli con tasse) e differenze tra i tassi creditori e debitori (nei modelli di risparmio).

Data la funzione di utilità $u\left(\mathbf {x} \right)$ ed il vincolo di bilancio, il problema del consumatore è $\max _{\mathbf {x} \in B\left(\mathbf {p} ,y\right)}u\left(\mathbf {x} \right)$. La soluzione di tale problema di ottimo è la domanda marshalliana, che indicheremo come $\mathbf {x} ^{m}\left(\mathbf {p} ,y\right)$: essa, naturalmente, è funzione dei parametri del problema.

• La soluzione del problema esiste, in quanto la funzione di utilità è continua per quanto visto nella primo capitolo e l'insieme di bilancio è chiuso, in quanto i prezzi sono strettamente positivi e dunque non esistono beni che non abbiano un costo. Inoltre tale soluzione è anche unica, dal momento che i prezzi sono lineari, e quindi l'insieme di bilancio è convesso, e le preferenze sono strettamente convesse.
• Per risolvere il problema si può fare uso del metodo dei moltiplicatori di Lagrange quando la funzione di utilità è differenziabile e quasi concava.

Classificazione dei beni

1. Se ${\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial y}}$ è:
   • positiva, il bene $i$ si dice normale
   • negativa, il bene $i$ si dice inferiore
   • nulla, il bene $i$ si dice inelastico al reddito
2. Se ${\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial p_{i}}}$ è:
   • positiva, il bene $i$ si dice di Giffen
   • negativa, il bene $i$ si dice ordinario
   • nulla, il bene $i$ si dice inelastico al proprio prezzo
3. Se ${\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial p_{j}}}$ è:
   • positiva, i beni $i$ e $j$ si dicono sostituti o succedanei
   • negativa, i beni $i$ e $j$ si dicono complementi
   • nulla, i beni $i$ e $j$ si dicono indipendenti

Proprietà della domanda marshalliana

1. Legge di Walras
   • La monotonicità delle preferenze implica la non saziabilità locale, ossia $\forall \mathbf {x} \in X,\epsilon >0,\exists \mathbf {y} \in X:|\mathbf {x} -\mathbf {y} |<\epsilon \land \mathbf {y} \succ \mathbf {x}$: in ogni intorno di $\mathbf {x}$ esiste un paniere che gli è preferito debolmente.
   • La legge di Walras dice che il consumatore spende interamente le risorse disponibili: $\mathbf {p} \mathbf {x} ^{m}\left(\mathbf {p} ,y\right)=\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{m}=y\ \forall \mathbf {p} ,y$
2. Proprietà di aggregazione alla Engel
   • Differenziando la legge di Walras a prezzi dati, si ha $\sum _{i=1}^{N}p_{i}dx_{i}^{m}=dy\Rightarrow \sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial y}}=1\Rightarrow \sum _{i=1}^{N}b_{i}(\mathbf {p} ,y)\epsilon _{i,y}(\mathbf {p} ,y)=1$, dove $b_{i}(\mathbf {p} ,y)$ rappresenta la quota di reddito spesa nel bene $i$ e $\epsilon _{i,y}(\mathbf {p} ,y)$ è l'elasticità della domanda di $x_{i}$ rispetto al reddito
   • Da tale legge si può concludere che esiste sicuramente almeno un bene normale.
3. Proprietà di aggregazione alla Cournot
   • Differenziando la legge di Walras a prezzi dati, escluso il prezzo del bene $k$, e imponendolo uguale a zero (ossia mantenendo il reddito fissato) si ha $\sum _{i=1}^{N}p_{i}dx_{i}^{m}+x_{k}^{m}dp_{k}=0\Rightarrow x_{k}^{m}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{m}}{\partial p_{k}}}\Rightarrow b_{k}(\mathbf {p} ,y)=-\sum _{i=1}^{N}b_{i}(\mathbf {p} ,y)\epsilon _{i,k}(\mathbf {p} ,y)$, dove $\epsilon _{i,k}(\mathbf {p} ,y)$ è l'elasticità della domanda di bene $i$ al prezzo del bene $k$.
   • Da tale legge si può concludere che se un bene è di Giffen, deve avere almeno un bene complemento.
4. Omogeneità di grado 0
   • La domanda marshalliana è omogenea di grado 0 in $\{\mathbf {p} ,y\}$, ossia moltiplicando prezzi e reddito per una costante $\lambda$, la domanda risulta invariata. Ciò è dovuto al fatto che l'insieme di bilancio rimane invariato e dunque la soluzione al problema è sempre la stessa.
   • Dal teorema di Eulero sulle funzioni omogenee segue che $\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}y=0\Rightarrow \sum _{i=1}^{N}\epsilon _{k,i}+\epsilon _{k,y}=0$.
5. In corrsipondenza del paniere ottimale il saggio marginale di sostituzione eguaglia il rapporto tra i prezzi
   • Impostando la funzione lagrangiana si ha ${\mathcal {L}}\equiv u(\mathbf {x} )-\lambda (\mathbf {p} \mathbf {x} -y)$, da cui la condizione del primo ordine: ${\frac {\partial u(\mathbf {x} ^{m})}{\partial x_{i}}}=u'_{i}=\lambda p_{i}\forall i$. Facendo il rapporto tra la condizione $i$ e la $j$, si ha: $SMS_{i,j}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}$.
   • Graficamente la soluzione è il punto di tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva d'indifferenza.
   • Tale proprietà non vale nel caso delle soluzioni d'angolo, ossia quando le preferenze non sono strettamente convesse (preferenze lineari o semilineari) o la funzione di utilità non è derivabile (per esempio utilità alla Leontief).
   • Il moltiplicatore di Lagrange viene comunemente detto prezzo ombra ed indica il cambiamento nel valore di utilità che si ottiene aumentando il reddito a disposizione: è il costo, in termini di utilità, sostenuto per rispettare il vincolo.

La funzione di utilità indiretta

Sostituendo le domande marshalliane nella funzione di utilità si ottiene la funzione di utilità indiretta $v(\mathbf {p} ,y)=u(\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y))$. Tale funzione indica quale è il massimo valore di utilità raggiungibile dato un vettore di prezzi ed il reddito ed è:

• non crescente nei prezzi e non decrescente nel reddito.
• omogenea di grado zero in $\{\mathbf {p} ,y\}$, in quanto anche la domanda marshalliana è omogenea di grado zero.
• quasi convessa nei prezzi, ossia $\{\mathbf {p} |v(\mathbf {p} ,y)\leq k\}$ è convesso $\forall k$:
  • Dati $\mathbf {p} ,\mathbf {p} '$ entrambi nel suddetto insieme, deve essere che anche $\mathbf {p} ''=\lambda \mathbf {p} +(1-\lambda )\mathbf {p} '$, combinazione lineare dei due, sia nell'insieme. Per dimostrare tale affermazione, basta dimostrare che l'insieme di bilancio implicato dal vettore di prezzi $\mathbf {p} ''$ è contenuto nell'unione degli insiemi di bilancio implicati da $\ \mathbf {p}$ e $\mathbf {p} '$, e che quindi qualunque paniere accessibile con $\mathbf {p} ''$, è accessibile anche a $\ \mathbf {p}$ oppure a $\mathbf {p} '$. In tal caso ciò dimostrerebbe che non è possibile raggiungere un'utilità maggiore, e quindi uscire fuori dall'insieme che si vuole dimostrare convesso.
  • Immaginiamo che, per assurdo, esista $\mathbf {x}$ tale che $\mathbf {p} \mathbf {x} >y$ e $\mathbf {p} '\mathbf {x} >y$, ma $\mathbf {p} ''\mathbf {x} \leq y$. In tal caso sarebbe anche: $\lambda \mathbf {p} \mathbf {x} >\lambda y$ e $(1-\lambda )\mathbf {p} '\mathbf {x} >(1-\lambda )y$, e quindi anche $\lambda \mathbf {p} \mathbf {x} +(1-\lambda )\mathbf {p} '\mathbf {x} >y$, e questo escluderebbe che possa essere $\mathbf {p} ''\mathbf {x} \leq y$.
  • Da ciò possiamo concludere che per il consumatore è preferibile avere prezzi estremi a prezzi intermedi.
• vale l'identità di Roy: $x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}}$, che dimostreremo in seguito.

Per ottenere la funzione di utilità diretta a partire dalla funzione di utilità indiretta, è necessario minimizzare quest'ultima rispetto al vettore dei prezzi, sotto il vincolo di bilancio.

• Sia dato un vettore di prezzi $\mathbf {p}$ tale che il paniere ottimale sia $\mathbf {x}$ e l'utilità indiretta sia $v(\mathbf {p} ,y)$.
• Si consideri ora un altro vettore di prezzi $\mathbf {p} '\neq \mathbf {p}$ tale che $\mathbf {x}$ si ancora accessibile. In tal caso quest'ultimo paniere non sarà più ottimale, visto il cambiamento di prezzi, e dunque $u(\mathbf {x} ')=v(\mathbf {p} ',y)\geq v(\mathbf {p} ,y)=u(\mathbf {x} )$.
• Si conclude che fissando il paniere e facendo variare i prezzi l'utilità aumenterà, dunque minimizzando l'utilità indiretta rispetto ai prezzi si ottiene la funzione di utilità diretta.

Il problema duale del consumatore

Un modo diverso di impostare il problema del consumatore è quello di minimizzare la spesa necessaria per raggiungere un determinato livello di utilità, ossia $\min _{\mathbf {x} |u(\mathbf {x} )\geq {\bar {u}}}\mathbf {p} \mathbf {x}$. Il problema è ben definito in quanto la funzione obiettivo è lineare e differenziabile, mentre il vincolo è convesso, se la funzione di utilità è quasi-convessa.

La soluzione a tale problema, $\mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$, viene detta domanda hicksiana. Vedremo in seguito quali sono i collegamenti tra quest'ultima e la domanda marshalliana vista nel problema primale.

La funzione di spesa minima

Sostituendo la domanda hicksiana all'interno della funzione minimizzanda, si ottiene la funzione di spesa minima: $e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})=\mathbf {p} \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$. Tale funzione è

• non decrescente nei prezzi e nella soglia di utilità.
• omogenea di grado uno in $\mathbf {p}$, in quanto la domanda hicksiana (come del resto la marshalliana) è omogenea di grado zero, quindi moltiplicando i prezzi per una costante la domanda rimane invariata e la spesa aumenta della stessa percentuale dei prezzi.
• concava nei prezzi: quando i prezzi aumentano, la spesa non aumenta in modo lineare in quanto il consumatore "aggiusta" le proprie scelte al fine di ridurre la spesa.
• vale il lemma di Shephard: $x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{i}}}$, che fra un po' dimostreremo.

I teoremi della dualità

Nel corso di questa lezione abbiamo visto due modi diversi di impostare il problema del consumatore, ottenendo una serie di risultati (le domande marshalliane ed hicksiane, l'utilità indiretta, la funzione di spesa). A questo punto è importante capire se tra tali risultati è possibile costruire delle relazioni, in modo da poter passare da un'impostazione all'altra del problema. Prima di procedere nella presentazione dei teoremi della dualità, presentiamo alcune semplici identità che ci serviranno nel seguito:

1. $e[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]\equiv y$: data la massima utilità raggiungibile con certi prezzi ed un certo reddito, la spesa minima per raggiungere tale utilità è pari al reddito di partenza.
2. $v[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]\equiv {\bar {u}}$: dato il livello di spesa minima da sostenere per raggiungere una soglia di utilità (a prezzi dati), la massima utilià raggiungibile è, ovviamente, la soglia di utilità data.
3. $x_{i}^{m}(\mathbf {p} ,y)\equiv x_{i}^{h}[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]$: la domanda marshalliana è la domanda ottimale da fare per raggiungere la massima utilità possibile con dati prezzi e reddito.
4. $x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})\equiv x_{i}^{m}[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]$: la domanda hicksiana è la domanda ottimale da fare per minimizzare la spesa necessaria a raggiungere un livello di utilità dato.

Il lemma di Shephard

Nell'ambito del problema duale abbiamo detto che vale:$x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}$. Forniamo ora la dimostrazione:

• la funzione di spesa minima è: $e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})=\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$; derivando rispetto a $p_{k}$ si ha: ${\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}={\color {Red}\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}+x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$.
• la i-esima condizione del primo ordine nel problema duale è: $p_{i}=\lambda u'_{i}$, da cui $u'_{i}={\frac {p_{i}}{\lambda }}$
• il vincolo del problema duale è: $u(\mathbf {x} )={\bar {u}}$, da cui derivando rispetto a p_k, si ha $\sum _{i=1}^{N}u'_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}=0$, dunque ${\frac {1}{\lambda }}{\color {Red}\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}=0$ e per $\lambda \neq 0$ e finito la sommatoria è nulla ed il lemma è dimostrato.
• si noti che tale dimostrazione è un'applicazione del teorema dell'inviluppo.

L'identità di Roy

Nell'ambito del problema primale, abbiamo visto che una delle proprietà della funzione di utilità indiretta è l'identità di Roy: $x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}}$. Forniamo ora la dimostrazione:

• differenziando l'identità (2), si ha ${\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{i}}}}=0$.
• la parte in rosso nell'equazione precedente è, per il lemma di Shephard, la domanda hicksiana, che è a sua volta uguale (in ottimo) alla domanda marshalliana. Esplicitando in termini di quest'ultima, si ottiene direttamente l'identità di Roy.

L'identità di Hotelling-Wold

L'identità di Hotelling-Wold dice che prezzo normalizzato per il reddito di in un bene k è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande: ${\frac {\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{k}}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}}}\equiv {\frac {u'_{k}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}}{y}}$. Tale equazione può essere vista, ed è per questo utilizzata per alcune applicazioni econometriche, come un sistema di domanda marshalliana inversa, che esprime il prezzo in funzione della quantità domandata.

Tale equazione è anche esprimibile come ${\frac {u'_{k}x_{k}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}x_{k}}{y}}$, ossia la quota di reddito spesa in un bene è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale, moltiplicata per la domanda ottimale, e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande. Dimostriamolo:

• la i-esima condizione del primo ordine, moltiplicata per $x_{i}$ è $u'_{k}x_{i}-\lambda p_{i}x_{i}=0$.
• sommando tutte le condizioni del primo ordine, si ottiene $\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}-\lambda y=0$, da cui$\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}$.
• sostituendo $\lambda$ nella k-esima condizione del primo ordine, si ha $u'_{k}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}p_{k}=0$, che esplicitata in termini di prezzo normalizzato per il reddito esprime l'equazione di Hotelling-Wold.

L'equazione di Slutsky

L'equazione di Slutsky è probabilmente una delle più utilizzate nell'ambito della teoria del consumatore: essa permette di scindere l'effetto totale che una variazione di prezzo di un certo bene ha sulla domanda di un altro (o anche lo stesso) bene in due parti:

• l'effetto sostituzione, dipendente dal fatto che un bene è diventato più o meno costoso rispetto agli altri: il consumatore reagisce aggiustando la sua domanda, eventualmente sostituendo il bene con un altro.
• l'effetto reddito, dipendente dal fatto che una variazione di prezzo incide sul vincolo di bilancio, rendendolo più o meno restrittivo: il consumatore si sente, quindi, più o meno ricco ed in conseguenza di ciò sposta la sua domanda ottimale per il bene.

In termini formali l'equazione è: $\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}} _{Effetto\ totale}=\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}} _{Effetto\ sostituzione}-\underbrace {{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}x_{j}^{m}} _{Effetto\ reddito}$. Si fornisce la dimostrazione:

• derivando l'identità (4) espressa sopra rispetto a $p_{j}$ si ha: ${\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e}{\partial p_{j}}}}$, dove la parte in rosso, per il lemma di Shephard, è uguale alla domanda hicksiana del bene j, che è anche uguale alla domanda marshalliana dello stesso bene.

A questo punto sono utili alcune osservazioni sulle funzioni di domanda:

• la domanda hicksiana è non crescente nei prezzi, infatti si ha $x_{i}^{h}={\frac {\partial e}{\partial p_{i}}}\Rightarrow {\frac {\partial x_{i}^{h}}{\partial p_{i}}}={\frac {\partial ^{2}e}{\partial p_{i}^{2}}}\leq 0$, per il lemma di Shephard e la concavità della funzione di spesa nei prezzi. Da quest'ultima osservazione si deduce, inoltre, che la matrice dei termini di sostituzione, che contiene le derivate delle domande hicksiane rispetto ai vari prezzi, è semidefinita negativa e simmetrica, in quanto coincide con l'hessiano della funzione di spesa (che è concava).
• la domanda marshalliana, invece, può essere crescente o decrescente nei prezzi, come avevamo implicitamente affermato quando abbiamo esposto la classificazione dei beni (Giffen vs. ordinario).

Dall'equazione di Slutsky, dunque, si può facilmente dedurre che:

• un bene può essere di Giffen (effetto totale positivo) solo se l'effetto sostituzione (sempre non positivo) è più che compensato dall'effetto reddito, che deve essere negativo: quindi se un bene è di Giffen allora deve essere inferiore. Si tratta quindi di beni "poveri", che a redditi bassi vengono consumati largamente e, dunque, quando il loro prezzo aumenta fa sentire il consumatore più povero, e quindi ne domanda di più.
• viceversa, se un bene è normale (effetto reddito positivo) allora, dovendosi escludere che possa essere di Giffen, è ordinario.

La costruzione di Antonelli

La costruzione di Antonelli svolge, nel problema duale, lo stesso ruolo che, nel problema primale, è svolto dall'identità di Hotelling-Wold. In sostanza, minimizzando la funzione di spesa rispetto ai prezzi, sotto il vincolo che la funzione di utilità indiretta raggiunga una certa soglia, $\min _{v(\mathbf {p} ,y)={\bar {u}}}\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}$ si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: $p_{i}=f(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una funzione di distanza $d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene k è uguale al prezzo del bene k, ossia ${\frac {\partial d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})}{\partial x_{k}}}=p_{k}$.

Anche in questo caso, come per l'identità di Hotelling-Wold, si ottengono i prezzi in funzione delle quantità, dunque si parla di sistemi di domanda inversa.

Schema di chiusura

Schema riassuntivo dei teoremi della dualità