Vettori

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Materia:Algebra Lineare > Vettori

Indice


[modifica] Vettori

[modifica] Matrici

Una matrice a coefficienti reali m \times n è una specie di "tabella di elementi" di m e n colonne, ordinata e nella quale gli elementi occupano una posizione identificabile attraverso un indice di riga e uno di colonna.

A=\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & & & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{array}\right)

Possiamo identificare qualsiasi elemento appartenente ad A attraverso i suoi indici di riga e colonna. Ad esempio, se vogliamo indicare il primo elemento in alto a sinistra, lo indichiamo con a1,1, cioè l'elemento di A che sta nella prima riga-prima colonna. Il generico elemento di A lo indicheremo di solito con ai,j dove i rappresenta il numero di riga e j il numero di colonna.

[modifica] Tipi particolari di matrici

Una matrice di tipo n \times n, cioè quando il numero delle righe è uguale a quello delle colonne, si chiama matrice quadrata.

\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{array}\right)

è un esempio di matrice quadrata 3 x 3.

Una matrice si dice triangolare se tutti i suoi elementi al di sopra della diagonale ai,i principale sono nulli.

\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_{2,2} & \cdots & 0 \\\vdots & & \ddots & 0 \\0 & \cdots & 0 & a_{m,n}\end{array}\right)

Se una matrice triangolare ha tutti gli elementi nulli solo al di sotto della diagonale si dice triangolare superiore, mentre in caso contrario triangolare inferiore.

[modifica] Operazioni con vettori e matrici

Quando affronteremo gli spazi vettoriali entreremo maggiormente nel dettaglio di queste operazioni. Per ora prendiamole come una definizione di come si può lavorare con i vettori e le matrici.

  • somma di vettori (matrici) . È possibile sommare due vettori (matrici) ottenendo come risultato un vettore (matrice) che ha come componenti la somma dei componenti dei vettori (matrici) addendi. Cioè
u + v = (u_1,u_2,\ldots,u_n) + (v_1,v_2,\ldots,v_n) = (u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n)
\left( \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n,1} & \cdots & b_{n,n} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_{1,1}+b_{1,1} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\ \vdots & \vdots \\ a_{n,1}+b_{n,1} & \cdots & a_{n,n}+b_{n,n} \end{matrix} \right)
  • moltiplicazione di un vettore per uno scalare . Possiamo moltiplicare un numero reale (detto anche scalare) per un vettore, ottenendo come risultato un vettore che ha per componenti il prodotto dei componenti per il numero reale. In altri termini,
\lambda v = \lambda (v_1,v_2,\ldots,v_n) = (\lambda v_1, \lambda v_2,\ldots, \lambda v_n)

Analogamente viene definito il prodotto per uno scalare di una matrice.

  • prodotto di matrici "riga per colonna" . È possibile una effettuare una moltiplicazione particolare tra due matrici A e B se hanno la stessa dimensione o se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Il risultato sarà invece una matrice di tipo "numero di righe di A x numero di colonne di B ". Tale operazione è definita nel modo seguente:
c_{h,k} = \sum_{j=1}^q a_{h,j}b_{j,k}

dove ch,k è il generico elemento della matrice prodotto C = A x B in riga h e colonna k e q il numero di colonne di A/numero di righe di B

[modifica] Esempio

\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & 1 \\2 & 5 & 0\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}3 & 4 \\2 & 1 \\0 & -1\end{array}\right)

Notiamo che è innanzitutto possibile effettuare questa operazione perché il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Applicando quindi la definizione abbiamo:

\left(\begin{array}{cc}9+8+0 & 12+4-1 \\6+10+0 & 8+5+0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}17 & 15 \\16 & 13\end{array}\right)

Si noti infine che il prodotto riga per colonna tra due matrici non è commutativo e quindi in generale non vale A \cdot B = B \cdot A .

[modifica] Matrice identità e matrice inversa

Daremo qui le definizioni di matrice identità e matrice inversa, ma questi due argomenti verranno ripresi nel seguito quando avremo più strumenti a disposizione (la matrice identità quando avremo studiato gli spazi vettoriali e la matrice inversa già dalla prossima lezione sui determinanti).

  • È detta matrice identità (o identica) la matrice fatta in questo modo
{\rm id_n} = \left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\0 & 1 & & 0 & 0 \\\vdots & & \ddots & & \vdots \\0 & 0 & & 1 & 0 \\0 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right)

e qualsiasi matrice A \in M_{n,n} sommata a idn da come risultato ancora A stessa. In altre parole, ma matrice identità è come se fosse uno zero, con il risultato che possiamo sommare qualsiasi numero a zero ottenendo il numero stesso.

  • Presa qualsiasi matrice A, può esistere una matrice che denotiamo con A − 1 tale che
A \cdot A^{-1} = {\rm id}

e tale matrice si chiama matrice inversa di A . Come accennato sopra, non è affatto detto che questa matrice esiste, ma se esiste è unica.

Infatti, se B e C sono due matrici inverse di A, facciamo vedere che allora B = C . Infatti,

\left\{ \begin{matrix} A \cdot B = {\rm id} \\ A \cdot C = {\rm id} \end{matrix}\right. \Rightarrow A \cdot B = A \cdot C \Rightarrow B=C

come desiderato.

Estratto da "http://it.wikiversity.org/wiki/Vettori"
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