Teoria delle perturbazioni

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Indice

[modifica] Perturbazioni indipendenti dal tempo

Correzioni del primo e del secondo ordine ai livelli energetici di un sistema quantistico soggetto a una perturbazione \widehat{V} indipendente dal tempo:

\mathcal{E}_n^{(1)}=V_{nn},\qquad \mathcal{E}_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}\frac{ \left| V_{mn}\right| ^2} {\mathcal{E}_n^{(0)}-\mathcal{E} _m^{(0)}}

Correzione del primo ordine alla funzione d'onda:

\psi_n^{(1)}=\sum_{m\ne n}\frac{V_{mn}}{\mathcal{E} _n^{(0)}-\mathcal{E} _m^{(0)}} \psi_m^{(0)}

Le correzioni a un livello degenere sono determinate dall'equazione

\det(V_{nn'}-\mathcal{E} ^{(1)}\delta_{nn'})=0

[modifica] Perturbazioni dipendenti dal tempo

Supponiamo ora che la perturbazione \widehat{V} dipenda esplicitamente dal tempo. Se all'istante iniziale il sistema si trova nell'n-esimo stato stazionario, la funzione d'onda del sistema a un istante qualsiasi, in prima approssimazione, è

\Psi_n=\sum a_{kn}(t)\Psi_{k}^{(0)}

dove

a_{kn}^{(0)}=\delta_{kn},\qquad a_{kn}^{(1)}=-\frac{i}{\hbar}\int V_{kn}e^{i\omega_{kn}t}\,dt

(Dirac, 1926)

[modifica] Transizioni per effetto di una perturbazione periodica

Probabilità di transizione a uno stato dello spettro continuo per effetto di una perturbazione periodica \widehat{V}=\widehat{V}_0e^{-i\omega t}+\widehat{V}_0^+e^{i\omega t}:

dw_{fi}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\delta(\mathcal{E} _f-\mathcal{E} _i^{(0)}-\hbar \omega)\,d\nu_f

[modifica] Transizioni nello spettro continuo

La probabilità di transizione tra stati dello spettro continuo per effetto di una perturbazione costante è data dalla regola d'oro di Fermi:

dw_{fi}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\delta(\mathcal{E} _f-\mathcal{E} _i)d\nu_f

Correzione del primo ordine alla funzione d'onda:

\Psi_i=\left(\psi_i^{(0)}+\int\frac{V_{fi}}{\mathcal{E} _i-\mathcal{E} _f }\psi_f^{(0)}d\nu_f\right)\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{E} _it\right)
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