Teoria dei gruppi

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Una struttura $(G,\cdot)$ è un gruppo se:

l'operazione $\cdot$ è associativa;
$\exists$ l'elemento neutro $1$ ;
ogni elemento è simmetrizzabile, $x \cdot x^{-1} = 1$ .

Dato un gruppo

G

, un sottoinsieme $H\subseteq G$ è un sottogruppo quando:

$\forall h_1, h_2 \in H, \ h_1 \cdot h_2 \in H$
$\exists 1 \in H$
$\forall h \in H, \ \exists h' \in H | h \cdot h' = 1$

Definizione: Permutazione

Una permutazione è una biiezione da un insieme in se stesso.

$f = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ f(1) & f(2) & \cdots & f(n) \end{matrix} \right)$

Su un insieme $A$ con $| A | = n$ , ci sono $n!$ possibili permutazioni:

$n(n-1)(n-2) \cdots 1 = n!$

Teorema:

L'insieme delle permutazioni

P

su

A

, con

| A | = n

, è un sottogruppo di ordine

n!

, $(P,\cdot)$ , dove

la composizione di permutazioni è ancora una permutazione;
l'operazione è associativa;
il neutro è la funzione identità;
ogni permutazione è invertibile.

Vedere l'esempio sul gruppo delle permutazioni su tre elementi

[modifica] Laterali

Definizione: Laterale sinistro (destro)

Dato $(G,\cdot)$ un gruppo e $H \subseteq G$ il suo sottogruppo, si dice laterale sinistro individuato da $g \in G$ l'insieme

$gH = \{gh, \ \forall h \in H\}$

Analogamente, si dice laterale destro individuato da $g \in G$ l'insieme

$Hg = \{ hg, \forall h \in H\}$

Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S 3$ .

Teorema:

Dato $H \subseteq G$ , sia $\mathcal{S}$ l'insieme dei laterali sinistri di

H

in

G

. Allora, $\mathcal{S}$ è una partizione di

G

. Analogamente, l'insieme dei laterali destri $\mathcal{D}$ di

H

in

G

è una partizione per

G

.

Teorema:

I laterali sinistri hanno (tra loro) lo stesso numero di elementi e, dato che anche

H

è un laterale,

$|H| = |gH| \ \forall g \in G$

Analogamente per i laterali destri.

Dimostrazione, prima parte:

$\forall g \in G$ , $g H$ non è un insieme vuoto, visto che $1 \in G \Rightarrow 1 \in H$ ;
l'insieme dei laterali sinistri (destri) è una partizione di $G$ , quindi è tutto $G$ ;
l'intersezione tra i laterali è nulla, essendo una partizione. Infatti, siano $g,g_1,g_2 \in G$ e sia

$g \in g_1 H \cap g_2 H$

Allora, esistono $h_1, h_2 \in H$ tali che

$g_1 h_1 = g_2 h_2 \Rightarrow g_1 = g_2 h_2 {h_1}^{-1}$

A questo punto, $\forall h \in H$ si ha

$g_1 h = g_2 h_2 {h_1}^{-1} h = g_2 h_2 {h_1}^{-1} H = g_2 H$

da cui si ottiene

$g_1 H \subseteq g_2 H$

Analogamente per il contrario.

Dimostrazione, seconda parte:

Vogliamo dimostrare che $\forall gH$ laterali sinistri di

G

,

| H | = | g H |

. Si deve quindi dimostrare che esiste la biiezione

$\begin{matrix} f:H & \rightarrow & gH \\ h & \rightarrow gh \end{matrix}$

il che è banale.

Definizione:

Sia $C : A \rightarrow B$ una corrispondenza da

A

in

B

che restituisce un qualunque sottoinsieme di $A \times B$ . Questa corrispondeza:

è ovunque definita, $\forall a \in A \ \exists b \in B | (a,b)\in C$
è funzionale, $\forall a \in A \ \exists \text{ al piu un } b \in B | (a,b) \in C$
è suriettiva, $\forall (a,b) \in C \ \exists a \in A, b \in B | f(a,b) = (a,b)$
è iniettiva, $\forall (a,b) \in C \ \exists \text{ al piu un } a \in A, b\in B | f(a,b) = (a,b)$

Dimostrazione:

Se per assurdo

$\exists x_1 \neq x_2 \in A | f(x_1,b) = f(x_2,b) = (a,b)$

allora si ha:

$\left. \begin{matrix} f(x_1,b) = (x_1, b) \\ f(x_2,b) = (x_2,b) \end{matrix} \right\} \Rightarrow (x_1,b) = (x_2,b) \Leftrightarrow x_1 = x_2$

il che è assurdo.

Definizione: Immagine di f

Si dice immagine di

f

l'insieme

$Im(f) = \left\{ b \in B | \exists a \in A | f(a) = b \right\}$

una funzione $f$ è suriettiva sse $I m (f) = B$ , cioè tutto l'immagine è tutto il codominio.
$f$ è una funzione, perché $\forall h \in H$ è univocamente determinato $g \in G | f(h) = g$ .
$f$ è iniettiva, infatti $f(h_1) = f(h_2) \Rightarrow gh_1 = gh_2 \Leftrightarrow h_1 = h_2$

Teorema: Teorema di Lagrange

Dato un gruppo

G

finito, l'ordine di un suo sottogruppo divide l'ordine di

G

.

Dimostrazione:

Sia

| G | = n

e sia

| H | = k

. Se indico con

i

il numero dei laterali sinistri, ho dimostrato che ogni laterale sinistro ha

k

elementi e che i laterali sinistri costituiscono una partizione di

i

elementi, quindi

n = k i

.

i

è anche il numero di laterali destri di

H

in

G

e di definisce l'indice di

H

in

G

.

Definizione: Sottogruppo normale

Un sottogruppo

H

di un gruppo

G

si dice normale $(H \triangleleft G)$ se

$\forall g \in G, \ gH = Hg$

Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S 3$ .

Teorema:

L'operazione del gruppo di partenza $(G,\cdot)$ può essere indotta nel sottogruppo quozioente solo se è ininfluente il valore del rappresentante.

Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S 3$ .

Teorema:

L'operazione del gruppo di partenza $(G,\cdot)$ si trasmette al quoziente

G / N

sse

N

è un sottogruppo normale.

Dimostrazione:

Sia $(G,\cdot)$ un gruppo, sia $N\triangleleft G$ un suo sottogruppo normale e sia $\mathcal{S}$ l'insieme dei laterali sinistri (vale anche per i destri). Si ha

$\frac{G}{N} = \left\{ g_1 N , g_2 N, \cdots \right\} = \{ N g_1, N g_2, \cdots \}$