Strutture algebriche

Da Wikiversità, l'università aperta.

Un insieme

A

con un'operazione generica $\star$ da origine ad una struttura $(A,\star)$ detta monoide.

Definizione: Semigruppo

Una struttura $(a,\star)$ con elemento neutro

e

e proprietà associative è detto semigruppo.

Teorema:

In una struttura $(A,\star)$ , se esiste l'elemento neutro

e

, esso è unico.

Dimostrazione:

Un elemento è neutro se

$\forall a \in A, \ a \star e = e \star a = a$

Supponiamo per assurdo che esistano due neutri $e 1$ ed $e 2$ . Allora, si ha

$a \star e_1 = e_1 \star a = a$

$a \star e_2 = e_2 \star a = a$

Imponendo $a = e 1$ , si ha

$e_1 \star e_2 = e_2 \star e_1 = e_1$

Imponendo $a = e 2$ , si ha

$e_2 \star e_1 = e_1 \star e_2 = e_2$

da cui si ha la tesi,

e 1 = e 2

.

Definizione: Elemento simmetrizzabile

Sia un semigruppo $(A,\star)$ . Un elemento $a \in A$ è simmetrizzabile se $\exists \bar{a} \in A | a \star \bar{a} = \bar{a} \star a = e$

Teorema:

Il simmetrico, se esiste, è unico.

Dimostrazione:

Siano per assurdo $\bar{x}$ e $\bar{\bar{x}}$ simmetrici di

x

, con $x, \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in A$ . Allora, si ha

$\bar{x} \star x = x \star \bar{x} = e = x \star \bar{\bar{x}} = \bar{\bar{x}} \star x$

da cui

$\bar{x} = e \star \bar{x} = (\bar{\bar{x}} \star x) \star x = e \star \bar{\bar{x}} = \bar{\bar{x}}$

[modifica] Anelli e gruppi

Definizione: Gruppo

Una struttura $(G,\star)$ è un gruppo se:

l'operazione $\star$ è associativa;
esiste l'elemento neutro $e$ ;
$\forall x \in G \ \exists \bar{x} | x \bar{x} = \bar{x} x = e$ , cioè esiste l'elemento simmetrico (inverso).

Definizione: Gruppo abeliano

Un gruppo $(G,\cdot)$ si dice abeliano se gode della proprietà commutativa.

Esempi.

$(\mathbb{N}, +)$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
$(\mathbb{N}, \cdot )$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
$(\mathbb{Z}, +)$ è un gruppo abeliano
$(\mathbb{Z}, \cdot )$ è un semigruppo (sono simmetrizzabili solo $\pm 1$ )

Definizione: Anello

Una struttura $(A,+,\cdot)$ con due operazioni è un anello se, rispetto alla somma si ha un gruppo abeliano e rispetto al prodotto si ha un semigruppo. Devono inoltre valere le proprietà distributive rispetto alla somma.

Nell'esempio, $(\mathbb{Z}, + )$ è un gruppo abeliano, $(\mathbb{Z}, \cdot )$ è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora $(\mathbb{Z}, +, \cdot )$ è un anello.

Definizione: Anello unitario

Un anello $(A,+,\cdot)$ si dice unitario se esiste l'unità moltiplicativa, l'

1

.

Definizione: Anello commutativo

Un anello $(A,+,\cdot)$ si dice commutativo se l'operazione di prodotto $\cdot$ è commutativa.

Definizione: Divisore dello zero

Un elemento $0 \neq x \in (A,+\cdot)$ anello commutativo unitario è divisore dello zero se

$\exists u \neq 0, \ y \in (A,+,\cdot) | x \cdot y = 0$

Definizione: Dominio d'integrità

Un anello $(A,+,\cdot)$ commutativo unitario è un dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.

Definizione: Campo

Una struttura

K

con due operazioni, $(K,+,\cdot)$ è un campo se:

$(K, + )$ è un gruppo abeliano;
$(K \setminus \{0\}, \cdot)$ è un gruppo abeliano;
valgono le proprietà distributive.

Per esempio,

$(\mathbb{Q},+)$ è un gruppo abeliano
$(\mathbb{Q} \setminus \{0\},\cdot)$ è un gruppo abeliano

quindi $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ è un campo. Anche $(\mathbb{R},+,\cdot)$ è campo, così come $(\mathbb{C},+,\cdot)$ . Nelle classi di resti, $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ è anello, perché $(\mathbb{Z}_n,\cdot)$ è soltanto un semigruppo.

Teorema:

Un elemento invertibile di un anello non può essere divisore dello zero.

Dimostrazione:

Siz $x \neq 0$ invertibile, cioè

$\exists \bar{x} | \bar{x} x = x \bar{x} = 1$

Sia $x$ divisore dello zero, cioè $\exists y \neq 0 | x \cdot y =0$ . Allora, si ha l'assurdo

$\bar{x}(xy)=(\bar{x} x ) y = 0 \Rightarrow y = 0$

Esempio di semigruppo, $(\mathbb{Z}_6,\cdot)$ , con divisori dello zero:

$\cdot$	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]
[0]	0	0	0	0	0
[1]	1	2	3	4	5
[2]	2	4	0	2	4
[3]	3	0	3	0	3
[4]	4	2	0	4	2
[5]	5	4	3	2	1

Esempio di gruppo, $(\mathbb{Z}_5,\cdot)$ , senza divisori dello zero:

$\cdot$	[1]	[2]	[3]	[4]
[0]	0	0	0	0
[1]	1	2	3	4
[2]	2	4	1	3
[3]	3	1	4	2
[4]	4	3	2	1

Teorema:

L'anello $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ è campo sse

n

è un numero primo.

Dimostrazione:

Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di ancora un po' di strumenti.

Teorema:

Lavorando in $(\mathbb{Z}_n)$ , un elemento

[a]

è invertibile se, e solo se,

(a, n) = 1

, cioè sono primi tra loro.

Dimostrazione 1:

Ipotesi: $[a]$ invertibile
Tesi: $(a, n) = 1$

Per assurdo, sia $(a,n)\neq 1$ . Allora, $\exists k | a = k \bar{a}, \ n = k \bar{n}$ , dove $k$ è un divisore comune. Si impone

$1 < \bar{a} < n \text{ e } 1 < \bar{n} < n$

Si ha

$[a][\bar{n}] = [\bar{a}k\bar{n}] = [\bar{a}n] = [0]$

Di conseguenza, $a$ risulta essere un divisore dello zero, che è assurdo essendo $a$ anche un elemento invertibile per ipotersi. Questo significa che

$\exists \bar{x} | x \bar{x} = \bar{x}x = 1$

ma, se $x$ è divisore dello zero, si ha anche

$\exists y \neq 0 | xy = 0$

da cui risulterebbe

$xy = 0 \Rightarrow \bar{x}xy = y = 0$

che è assurdo.

Dimostrazione 2:

Ipotesi: $(a, n) = 1$
Tesi: $[a]$ è invertibile

Sia

H = {[a][x]}

, \ \forall [x] \in \mathbb{Z}_n

con $H \subseteq \mathbb{Z}_n$ . Se in $H$ ci sono tutti gli elementi di $\mathbb{Z}_n$ , compresa l'unità, allora $[a]$ è invertibile. Infatti, se esiste $[1]\in H$ , allora $\exists x | [a][x]=[1]$ .

Dimostro che $[a][x]=[a][y] \Leftrightarrow [x]=[y]$ , il che vuol dire che $|H|=n \Rightarrow H=\mathbb{Z}_n$ .

Si ha $[a x] = [a y]$ , con

$1 \le a < n$
$1 \le x < n$
$1 \le y < n$
$x > y$ per comodità.

Allora, si ha

[a x - a y] = [a (x - y)] = [0]

da cui

a (x - y) = k n

Per ipotesi,

n

non può dividere

a

, quindi deve dividere

(x - y)

, ma

(x - y) < n

, quindi si ha un assurdo, perché dovrebbe essere

x = n y

.

Teorema enunciato precedentemente:

L'anello $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ è campo sse

n

è un numero primo.

Dimostrazione 1:

$(\mathbb{Z}n,+,\cdot)$ campo significa che $\forall [a] \in \mathbb{Z}_n, \ [a]\neq 0$ è invertibile. Allora, si ha

$\forall a \neq 0, \ 1<a<n, \ (a,n)=1 \Rightarrow n \text{ è primo}$

cioè, nessun numero intero minore di

n

divide

n

.

Dimostrazione 2:

Se

n

è primo, allora

$\forall a \neq 0, \ 1 < a < n, \ (a,n)=1$

Lemma:

Se $(\mathbb{Z}_n)$ è campo, allora $\forall [a] \neq [0]$ ,

[a]

è invertibile.

Il lemma vuol dire che, se tutti i numeri $a$ che precedono $n$ sono primi con $n$ , allora $n$ è un numero primo; ne $n$ è un numero primo, allora tutti i numeri che lo precedono sono primi con lui.

[modifica] Gruppi ciclici

Definizione: Sottogruppo ciclico

Dato un gruppo $(G, \cdot)$ con $g \in G$ , si dice sottogruppo ciclico generato da g,

< g >

, il più piccolo sottogruppo di

G

che contiene

g

.

In genere, un sottogruppo ciclico è compoeto da tutte le potenze del generatore, cioè

$<g> = \left\{ 1, g, g^2, g^3, \cdots\right\}$

Definizione: Periodo

Dato $g \in G$ , si dice periodo di

g

,

o (g)

, il più piccolo intero positivo

k

tale per cui

g k = 1

.

Il periodo di un elemento coincide con l'ordine del sottogruppo generato dall'elemento stesso.

Definizione: Generatore

Un elemento $g \in G$ di un gruppo ciclico

G

è un generatore di

G

.

$\left(\mathbb{Z}_{13},\cdot\right)$	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[8]	[9]	[10]	[11]	[12]
[0]	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
[1]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[2]	2	4	6	8	10	12	1	3	5	7	9	11
[3]	3	6	9	12	2	5	8	11	1	4	7	10
[4]	4	8	12	3	7	11	2	6	10	1	5	9
[5]	5	10	2	7	12	4	9	1	6	11	3	8
[6]	6	12	5	11	4	10	3	9	2	8	1	7
[7]	7	1	8	2	9	3	10	4	11	5	12	6
[8]	8	3	11	6	1	9	4	12	7	2	10	5
[9]	9	5	1	10	6	2	11	7	3	12	8	4
[10]	10	7	4	1	11	8	5	2	12	9	6	3
[11]	11	9	7	5	3	1	12	10	8	6	4	2
[12]	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Osservando la tabella $\mathbb{Z}_{13}$ si vede che:

$o (1) = 1$
$o (3) = o (9) = 3$
$o (4) = o (10) = 6$
$o (5) = o (8) = 4$

I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di $G$ .

Teorema: Teorema di Lagrange

L'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.

Abbiamo visto che $6 k$ genera $\left( \mathbb{Z}_{13} \setminus \{0\}, \cdot \right)$ sse $(k,12) = 1$ .

$<6> = \{ 6 , 10 , 8 , 9 , 2, 12 , 7 , 3 , 5 , 4 , 11 , 1 \} = \left\{ 6^1 , 6^2 , 6^3 , 6^4 , 6^5 , 6^6 , 6^7 , 6^8 , 6^9 , 6^{10} , 6^{11} , 6^{12} \right\}$

Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di $< 6 >$ e sono generati da 2, 7 e 11.

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