Spazi vettoriali

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Spazi e sottospazi Vettoriali
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Indice

Per questa lezione sono utili le nozioni di Gruppo e Campo algebrico.

[modifica] Spazi e sottospazi vettoriali

Un insieme di vettori V appartenenti ad un qualsiasi campo formano uno spazio vettoriale se (V; + ) è un gruppo abeliano e (V; * ), con * prodotto per uno scalare, gode della proprietà distributiva, associativa, esistenza dell'elemento neutro e dello 0. In altri termini, esplicitando le proprietà:

\forall u,v,w \in V
  1. (u+v)+w = u+(v+w)\,\!
  2. \exists O : v+O = v\,\!
  3. \exists -v : v+ (-v) = O\,\!
  4. u+w=w+u\,\!


\forall u,v,w \in V, \lambda , \mu \in \mathbb{R}
  1. \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v\,\!
  2. v(\lambda + \mu)= \lambda v + \mu v\,\!
  3. (\lambda \mu) v = \lambda ( \mu v)\,\!
  4. 0v = O \,\!
  5. 1v=v\,\!


Un sottospazio vettoriale di V è un insieme U \subseteq V con la proprietà di chiusura per le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, cioè:

\forall u,u^\prime \in U,\lambda \in \mathbb{R} : u+u^\prime \in U , \lambda u \in U

[modifica] Esempi di spazi e sottospazi vettoriali

\mathbb{R}^3 è uno spazio vettoriale. Infatti soddisfa tutte le proprietà descritte sopra.

[modifica] Combinazioni lineari di vettori

Definizione: si definisce combinazione lineare di n vettori v_1,\ldots,v_n \in V con coefficienti a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{R} il vettore
\sum_{i=1}^{n}a_i v_i = a_1v_1+\ldots+a_nv_n \in V.

Si definisce inoltre il sottospazio generato dai v1,...,vn l'insieme delle combinazioni lineari dei v1,...,vn, cioè:

\mathcal{L}(v1,...,v_n):= \left( v_i \in V, a_i \in \mathbb{R} \mid \sum_{i=1}^{n}a_i v_i \right)

Dunque, dato U\, uno spazio vettoriale e V \leq U sottospazio vettoriale, diremo che i vettori v_1,v_2,\dots,v_n\, generano il sottospazio V\, se tutti gli elementi di V\, possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori v_i\,.

È facilmente verificabile che esso è effettivamente un sottospazio di V e potete provare a farlo come esercizio.

Si osservi che dalla sola definizione data non è necessario che tali generatori siano "necessari" per generare lo spazio. Non è escluso cioè che togliendo dall'insieme un vettore, il sottospazio vettoriale così generato resti lo stesso.

[modifica] Esempi

  • Dato un vettore non nullo v\in V\, si ha che il sottospazio generato da v (spesso indicato con \langle v \rangle o anche come \text{span}(v)\, o come \mathcal{L}(v)) è l'insieme di tutti i multipli di v\,. La verifica delle proprietà di sottospazio è immediata.
  • (solo per studenti con nozioni di geometria analitica) Consideriamo il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3\, con equazioni cartesiane W: z=0\, nell'usuale sistema di coordinate. Si osserva facilmente che un insieme di generatori di tale sottospazio è dato dai vettori \hat{i}, \hat{j} definiti nell'esempio successivo.

Infatti un generico punto del sottospazio ha la formaw=\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ 0 \end{pmatrix} e può quindi essere scritto come w= w_1 \hat{i} + w_2 \hat{j}\,.

Questo dimostra che il sottospazio generato da \hat{i}\, e \hat{j}\, contiene W\,. Il viceversa è banalmente vero unicamente osservando che i due generatori appartengono entrambi al sottospazio W.

  • Rispetto all'esempio appena considerato si può osservare che qualsiasi coppia di vettori della forma k_i \hat{i}, k_j \hat{j}\, con k_i,k_j \neq 0, genera lo stesso sottospazio W\,.

[modifica] Dipendenza e indipendenza lineare

Definizione: un insieme di vettori v_1,...,v_n \in V si dicono linearmente dipendenti se esistono degli a_1,...,a_n \in \mathbb{R} non tutti nulli tali che

a1v1 + ... + anvn = O.

Viceversa, i vettori si dicono linearmente indipendenti, ovvero se

a_1v_1+...+a_nv_n = O \Rightarrow a_1=...=a_n =0.

Vedremo più avanti, quando studieremo i sistemi lineari, metodi più efficaci per determinare la dipendenza o indipendenza lineare di un insieme vettori. In ogni caso, facciamone comunque qualche esempio utile a chi ha già nozioni di sistemi lineari e rango di una matrice.

[modifica] Esempi

  • Consideriamo lo spazio vettoriale reale \mathbb{R}^2. Verifichiamo che i vettori \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} sono linearmente indipendenti. Prendiamo in esame una generica combinazione lineare a coefficienti reali dei due vettori e mostriamo che essa è il vettore nullo se e soltanto se entrambi i coefficienti sono nulli. Una generica combinazione lineare dei due vettori è il vettore della forma
x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \text{con } x,y \in \mathbb{R}

Analizziamo ora le implicazioni che derivano dal supporre che una tale combinazione risulti essere il vettore nullo

x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

riscrivendo tale condizione si ottiene il seguenti sistema

\begin{cases} 1x + 2y = 0 \\ 1x + 3y = 0 \end{cases}

il quale ha solo la soluzione banale x=y=0\,. Abbiamo dunque mostrato che ogni combinazione lineare dei due vettori è il vettore nullo se e soltanto se i coefficienti di tale combinazione lineare sono nulli. Questo dimostra che i due vettori sono linearmente indipendenti

  • Analogamente all'esempio 1 si può mostrare che i versori di \mathbb{R}^3:
\hat{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\ \hat{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

sono linearmente indipendenti. Daremo di seguito una dimostrazione alternativa allo scopo di mostrare un altro approccio all'indipendenza lineare basato sulle matrici. Dalla definizione di indipendenza lineare segue che, se \hat{i},\hat{j}\, e \hat{k}\, non fossero linearmente indipenti, esisterebbero tre coefficienti scalari non nulli

x_i,x_j\, e x_k\, tali che x_i \hat{i} + x_j \hat{j} + x_k \hat{k} = 0.

Questa condizione si può banalmente riscrivere come x_i \hat{i} + x_j \hat{j} = -x_k \hat{k}, il che significa che se \hat{i},\hat{j}, \hat{k} non sono linearmente indipendenti uno di essi (nel nostro caso \hat{k}) appartiene al sottospazio vettoriale generato dagli altri due.
Possiamo quindi dire che la matrice costituita dai tre vettori non avrà rango massimo, in particolare in questo caso sarà:

{\rm rg}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} < 3

ma questo è assurdo essendo la matrice esattamente la matrice identica.
Questo ragionamento dà una caratterizzazione equivalente dell'indipendenza lineare, ovvero:

I vettori v_1,\dots,v_n \in V sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice A\, che ha come colonne tali vettori ha rango massimo
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