Spazi di omomorfismi

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Materia:Algebra Lineare > Spazi di omomorfismi

Indice


[modifica] Spazi di omomorfismi

Siano V e W due spazi vettoriali e f:V\to W un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di f da V in W

Hom (V,W):= \{f:V\to W, f \text{ lineare}\}

In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare. Per esercizio, dimostrate che Hom(V,W) è effettivamente uno spazio vettoriale.

[modifica] Equazioni di f

Sia f:V\to V un'applicazione lineare e siano \mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n),\mathcal{B}'=(w_1,\dots,w_m) basi ordinate rispettivamente di V e W.

Sappiamo che ogni elemento di W è combinazione lineare dei wi della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori (w_1,\dots,w_m) \cdot \begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} = a_1w_1 + a_2w_2 + \dots +a_m v_m.

Ora, un omomorfismo porta \mathcal{B} in f(\mathcal{B})=(f(v_1),\dots,f(v_n)) dunque ogni f(vj) appartiene a W e si potrà scrivere f(v_i)=\sum_{i=1}^m a_{j}w_i. Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga \mathcal{B}' e di un opportuno vettore colonna A. Se raggruppiamo tutti gli m vettori colonna (tanti quanti sono gli f(vj)) in una matrice m \times n, otteniamo dunque la seguente matrice:

(a_{ij}) = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\\end{pmatrix}.

Possiamo allora scrivere ogni f(v_j)\in W come f(v_j)=\sum_{i=1}^m w_i a_{ij} oppure

f(v_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}w_i, con ,j=1,\dots,n.

La matrice (a_{ij}) \in M_{m\times n}(\mathbb{K}) ha una notevola proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base \mathcal{B}' dell'immagine del j-esimo vettore di \mathcal{B}. . Questa matrice la denotiamo con M_{\mathcal{B}'\mathcal{B}}(f).

[modifica] Equazioni scalari

Ricapitolando, abbiamo dunque che v \in V,v=\sum_{j=1}^n x_j v_j, w \in W, w=\sum_{i=1}^m a_i w_i e f(v_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}w_i. Allora:

f(v) \in W \rightarrow f(v)=f \left(\sum_{j=1}^n x_j v_j \right) = \sum_{j=1}^n x_j f(v_j) = \sum_{j=1}^n x_j \left(\sum_{i=1}^m a_{ij} w_i \right) =\sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n x_j a_{ij} \right)w_i

Dunque le coordinate di un qualunque vettore w \in W sono date da \sum_{j=1}^n x_j a_{ij}.

L'equazione x'_i = \sum_{j=1}^n x_j a_{ij} è detta equazione scalare di f relativa a \mathcal{B} e \mathcal{B}'.

[modifica] Equazioni matriciali

Poniamo ora X'=^t(x'_1,\dots,x'_n)_{\mathcal{B}'} e X=^t(x_1,\dots,x_n)_{\mathcal{B}}. Allora

X'=M_{\mathcal{B}'\mathcal{B}}(f)\cdot X

è l'equazione matriciale di f relativa a \mathcal{B} e \mathcal{B}'.

[modifica] Esempio

f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4, v1 = (3,1),v2 = ( − 1,2), \mathcal{B}=(v_1,v_2) e infine f=\begin{cases} v_1 \mapsto 0 \\ v_2 \mapsto (1,2,3,4)\end{cases}. Consideriamo poi la base canonica di \mathbb{R}^4 E4 = (e1,e2,e3,e4).

Abbiamo allora M_{E\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix}, cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di f(v1) e f(v2) in base E. Per ottenere le coordinate di un generico vettore v \in \mathbb{R}^2 usiamo l'equazione matriciale X'=M_{\mathcal{B}'\mathcal{B}}(f)\cdot X (dove X rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base \mathcal{B}), cioè:

X'= \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} .

Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore v=(7,0) \in \mathbb{R}^2 nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di v in base \mathbb{B}:

v = x1v1 + x2v2 = x1(3,1) + x2( − 1,2)
\begin{cases} 3x_1-x_2=7 \\ x_1 + 2x_2 = 0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases}x_1 = 2 \\ x_2 = -1 \end{cases}. Dunque
\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}

Le coordinate di v in base E sono quindi ( − 1, − 2, − 3, − 4).

È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione f che associa un vettore v alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.

Estratto da "http://it.wikiversity.org/wiki/Spazi_di_omomorfismi"
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