Spazi di omomorfismi

Spazi di omomorfismi
	Tipo: lezione
	Materia: Algebra lineare
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Avanzamento lezione: 75% al 25-05-2013.

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Spazi di omomorfismi

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali e $f:V\to W$ un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di $f$ da $V$ in $W$

$Hom (V,W):= \{f:V\to W, f \text{ lineare}\}$

In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare. Per esercizio, dimostrate che $Hom (V,W)$ è effettivamente uno spazio vettoriale.

Equazioni di $f$

Sia $f:V\to V$ un'applicazione lineare e siano $\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n),\mathcal{B}'=(w_1,\dots,w_m)$ basi ordinate rispettivamente di $V$ e $W$.

Sappiamo che ogni elemento di $W$ è combinazione lineare dei $w_i$ della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori $(w_1,\dots,w_m) \cdot \begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} = a_1w_1 + a_2w_2 + \dots +a_m v_m$.

Ora, un omomorfismo porta $\mathcal{B}$ in $f(\mathcal{B})=(f(v_1),\dots,f(v_n))$ dunque ogni $f(v_j)$ appartiene a $W$ e si potrà scrivere $f(v_i)=\sum_{i=1}^m a_{j}w_i$. Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga $\mathcal{B}'$ e di un opportuno vettore colonna $A$. Se raggruppiamo tutti gli $m$ vettori colonna (tanti quanti sono gli $f(v_j)$) in una matrice $m \times n$, otteniamo dunque la seguente matrice:

$(a_{ij}) = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\\end{pmatrix}$.

Possiamo allora scrivere ogni $f(v_j)\in W$ come $f(v_j)=\sum_{i=1}^m w_i a_{ij}$ oppure

$f(v_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}w_i$, con $,j=1,\dots,n$.

La matrice $(a_{ij}) \in M_{m\times n}(\mathbb{K})$ ha una notevole proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base $\mathcal{B}'$ dell'immagine del j-esimo vettore di $\mathcal{B}$. . Questa matrice la denotiamo con $M_{\mathcal{B}'\mathcal{B}}(f)$.

Equazioni scalari

Ricapitolando, abbiamo dunque che $v \in V,v=\sum_{j=1}^n x_j v_j$, $w \in W, w=\sum_{i=1}^m a_i w_i$ e $f(v_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}w_i$. Allora:

$f(v) \in W \rightarrow f(v)=f \left(\sum_{j=1}^n x_j v_j \right) = \sum_{j=1}^n x_j f(v_j) =$$\sum_{j=1}^n x_j \left(\sum_{i=1}^m a_{ij} w_i \right) =\sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n x_j a_{ij} \right)w_i$

Dunque le coordinate di un qualunque vettore $w \in W$ sono date da $\sum_{j=1}^n x_j a_{ij}$.

L'equazione $x'_i = \sum_{j=1}^n x_j a_{ij}$ è detta equazione scalare di $f$ relativa a $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$.

Equazioni matriciali

Poniamo ora $X'=^t(x'_1,\dots,x'_n)_{\mathcal{B}'}$ e $X=^t(x_1,\dots,x_n)_{\mathcal{B}}$. Allora

$X'=M_{\mathcal{B}'\mathcal{B}}(f)\cdot X$

è l'equazione matriciale di $f$ relativa a $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$.

Esempio

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4$, $v_1=(3,1),v_2=(-1,2)$, $\mathcal{B}=(v_1,v_2)$ e infine $f=\begin{cases} v_1 \mapsto 0 \\ v_2 \mapsto (1,2,3,4)\end{cases}$. Consideriamo poi la base canonica di $\mathbb{R}^4$ $E_4=(e_1,e_2,e_3,e_4)$.

Abbiamo allora $M_{E\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix}$, cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di $f(v_1)$ e $f(v_2)$ in base $E$. Per ottenere le coordinate di un generico vettore $v \in \mathbb{R}^2$ usiamo l'equazione matriciale $X'=M_{\mathcal{B}'\mathcal{B}}(f)\cdot X$ (dove $X$ rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base $\mathcal{B}$), cioè:

$X'= \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ .

Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore $v=(7,0) \in \mathbb{R}^2$ nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di $v$ in base $\mathbb{B}$:

$v= x_1 v_1 + x_2 v_2 = x_1(3,1)+x_2(-1,2)$

$\begin{cases} 3x_1-x_2=7 \\ x_1 + 2x_2 = 0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases}x_1 = 2 \\ x_2 = -1 \end{cases}$. Dunque

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}$

Le coordinate di $v$ in base $E$ sono quindi $(-1,-2,-3,-4)$.

È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione $f$ che associa un vettore $v$ alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.