Sistemi di numerazione

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Un sistema di numerazione è un insieme di simboli e regole atti a dar luogo ad una codifica numerica, in altre parole esso serve a produrre una sequenza di caratteri che abbia una corrispondenza biunivoca con la grandezza numerica da rappresentare.
Tutti gli innumerevoli metodi che l'uomo ha escogitato per rappresentare graficamente i numeri, di per sè entità astratte, possono essere classificati per i nostri fini in:


  • sistemi non posizionali
  • sistemi posizionali


Un esempio di sistema di numerazione posizionale è quello romano, nel quale le regole per il calcolo del valore corrispondente ad una data sequenza di simboli dipendono dalla posizione nella sequenza stessa.
Ad esempio i numeri romani IX e XI hanno valori diversi, rispettivamente 9 e 11, nonostante siano stati ottenuti utilizzando gli stessi simboli grafici, la stessa cosa si verifica per 19 e 91 che pure sono ottenuti con gli stessi simboli grafici ed hanno valore 'diciannove' e 'novantuno'. Nel primo caso infatti, il numero rappresentato si ottiene sottraendo al simbolo X (10) il simbolo I (1) scritto alla sua sinistra, nel secondo invece, gli stessi due valori anziché essere sottratti vengono sommati solo perché è cambiato il loro ordine di rappresentazione.
Vien da se che un simile algoritmo di codifica numerica richiede meccanismi alquanto complessi e macchinosi allorché si abbia la necessità di effettuare delle operazioni matematiche con i numeri rappresentati.

Questo tipo di difficolta viene superata con l'introduzione dei sistemi posizionali...

Indice

[modifica] La rappresentazione polinomiale

sia definita la base b con la quale vogliamo rappresentare i nostri numeri:

b \in \mathbb{N}^+\ e\ b>0

sia c una generica cifra del nostro numero tale che:

c \in \mathbb{N}^+\ e\ c \in [0\dots b-1]

un qualsiasi numero positivo n di N cifre: può essere rappresentato tramite:

n = \sum_{i=0}^{N}c_ib^i = c_0b^0+c_1b^1+ \dots + c_ib^i + \dots + c_{N-1}b^{N-1} + c_{N-1}b^{N-1}

il numero minimo N di cifre necessario per rappresentare n in base b è dato da:

N \ge \log_b n \qquad con\ n,N \in \mathbb{N}^+\ e\ n>0

[modifica] Il Sistema Binario

Il sistema binario si basa su due valori, sintetizzati in 1 e 0. Tuttavia possono essere immaginati anche come

1 0
Vero Falso
Acceso Spento
Giusto Sbagliato

ecc...

[modifica] Il sistema Ottale

Il sistema ottale è basato su 8 simboli, solitamente sono 0,1,2,3,4,5,6,7 Questo sistema veniva utilizzato in alcuni calcolatori, oramai caduti in disuso.

[modifica] Il sistema Esadecimale

[modifica] Conversione di un numero da un sistema posizionale ad un altro

La conversione da un sistema ad un altro è molto semplice. Per il passaggio da decimale ad altri sistemi basta dividere il numero X per le cifre massime del sistema utilizzato eppoi invertire l'ordine dei resti. Ad esempio da Decimale(base 10) a Binario(base 2)

20 / 2 = 10 resto 0
10 / 2 = 5 resto 0
5 / 2 = 2 resto 1
2 / 2 = 1 resto 0
1 / 2 = 0 resto 1

ora dall'ultimo resto in sù; l'equivalente di 20(10) è 10100(2)

Stessa cosa per altri sistemi come quello esadecimale (base 16)

20 / 16 = 1 resto 4
1 / 16 = 0 resto 1

l'equivalente di 20(10) sarà 14(16)

_____________________________

La conversione da un altro sistema a decimale è possibile in questo modo: partendo dalle ultime cifre a destra si moltiplica quel numero per la base del sistema di numerazione utilizzato elevato alla distanza dal primo numero; poi i risultati, sommati, daranno l'equivalente in decimale.

Esempio: 10100(2) = 1 * (2)4 + 0 * (2)3 + 1 * (2)2 + 0 * (2)1 + 0 * (2)0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 20(10)

_____________________________ Come abbiamo visto prima un numero può essere riscritto in forma polinomiale:

n = \sum_{i=0}^{N}c_ib^i = c_0b^0+c_1b^1+ \dots + c_ib^i + \dots + c_{N-1}b^{N-1} + c_{N-1}b^{N-1}

[modifica] Precisione di una rappresentazione

[modifica] Operazioni aritmetiche nel sistema binario

[modifica] Rappresentazione di un numero attraverso il complemento alla base

[modifica] Gli standard della rappresentazione binaria adottati dai calcolatori elettronici

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