Serie di esercizi per il corso di Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

Esercizio:

Siano $A,B,C$ tre eventi di uno spazio di probabilità $(\Omega ,F,P)$. Dimostrare che

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

Esercizio:

Giovanni e marco seguono il corso di teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori, il cui esame finale prevede tre punteggi: $A,B,C$.

Sapendo che

1. la probabilità che Giovanni prenda $B$ è $0,3$
2. la probabilità che Marco prenda $B$ è $0,4$
3. la probabilità che nessuno dei due prenda $A$ ma almeno uno dei due prenda $B$, vale $0,1$

calcolare la probabilità che almeno uno dei due prenda $B$ ma nessuno prenda $C$.

Esercizio:

Si lanciano due dadi indipendenti non truccati; calcolare la probabilità che:

1. la somma dei due dadi sia $s\geq 8$;
2. la somma sia $s=8$;
3. si ottenga almeno un $6$ nei due lanci.

Esercizio:

Si consideri la legge di probabilità di Bernoulli $P_{n}(k)$. Fissati $n$ e $p=P(A)$ la probabilità di successo, determinare il valore di $k$ per cui si ha la massima probabilità $P_{n}()k$.

1. calcolare analiticamente il massimo;
2. provare con Octave a verificare il risultato teorico.

Soluzione:

Per calcolare il valore giusto di k, si fa

${\frac {P_{n}(k-1)}{P_{n}(k)}}={\frac {{\frac {n!}{(n-k+1)!(k-1)!}}\cdot p^{k-1}q^{n-k+1}}{{\frac {n!}{(n-k)!k!}}\cdot p^{k}q^{n-k}}}={\frac {n-q}{(n-k+1)p}}$

Nel caso in cui $k<(n+1)p$, si ha

${\frac {P_{n}(k-1)}{P_{n}(k)}}={\frac {(n+1)pq}{(n+1)(1-p)p}}=1\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}P_{n}(k+1)<P_{n}(k)&k<(n+1)p\\P_{n}(k-1)>P_{n}(k)&k<(n+1)p\end{matrix}}\right.$