Forme bilineari

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Materia:Geometria > Forme bilineari

Indice


In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.

[modifica] Forme bilineari

Sia V uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{K}. Una applicazione

b:V\times V \to \mathbb{K}

si dice forma bilineare su V e gode delle seguenti proprietà:

  1. b(\mathbf{v}+\mathbf{v}',\mathbf{w})=b(\mathbf{v},\mathbf{w})+b(\mathbf{v}',\mathbf{w})
  2. b(\mathbf{v},\mathbf{w}+\mathbf{w}')=b(\mathbf{v},\mathbf{w})+b(\mathbf{v},\mathbf{w}')
  3. b(k\mathbf{v},\mathbf{w})=b(\mathbf{v},k\mathbf{w})=kb(\mathbf{v},\mathbf{w})


\forall \mathbf{v},\mathbf{v}',\mathbf{w},\mathbf{w}'\in V,\ \ k \in \mathbb{K}


Inoltre b si dice simmetrica se

b(\mathbf{v},\mathbf{w})=b(\mathbf{w},\mathbf{v})

mentre si dice antisimmetrica se

b(\mathbf{v},\mathbf{w})=-b(\mathbf{w},\mathbf{v})

sempre per ogni \mathbf{v}\mathbf{w} \in V.

Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.

  1. La forma bilineare nulla 0(\mathbf{v},\mathbf{w})=0 è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
  2. Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K}) e consideriamo i vettori colonna \mathbf{x},\mathbf{y}, abbiamo
    b(\mathbf{x},\mathbf{y})=\ ^t\mathbf{x}A\mathbf{y}=\sum_{i,j=1}^n x_ia_{ij} y_i \in \mathbb{K}
    Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
  3. Se la matrice dell'esempio 2 A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K}) è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su \mathbb{K} definita come
b(\mathbf{x},\mathbf{y})=\ ^t\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\sum_{i,j=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \in \mathbb{K}

Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare.

Sia V un \mathbb{K}-spazio vettoriale di dimensione n e sia \{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\} una sua base. Sia inoltre b:V \times V \to \mathbb{K} una forma bilineare su V. Allora la matrice di b rispetto alla base appena definita è

A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K})\ : \ a_{ij}=b(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j),\ i\geq 1,j\leq n


[modifica] Prodotti scalari

Una forma bilineare simmetrica su V si dice prodotto scalare se

b(\mathbf{v},\mathbf{v})=0 \Leftrightarrow v=0 \wedge b(\mathbf{v},\mathbf{v})\geq 0

Il prodotto scalare si indica con il simbolo < , > .

Quel prodotto scalare tale che

<\mathbf{v}\mathbf{w}>=x_1\mathbf{w}_1+x_2\mathbf{w}_2+\dots+\mathbf{v}_n\mathbf{w}_n

si indica con v \cdot w e si chiama prodotto scalare standard.


Uno spazio vettoriale V nel quale è definita l'operazione di prodotto scalare, si indica con
(V, < , > )
e prende il nome di spazio vettoriale euclideo.


[modifica] Teorema (Disuguaglianza di Schwartz)

Siano \mathbf{v}\mathbf{w} \in V. Allora

<\mathbf{v}\mathbf{w}>^2 \ \leq \ <\mathbf{v},v><\mathbf{w}\mathbf{w}>
e l'uguaglianza vale se e solo se v e w sono paralleli.

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.

0 \leq \ <xv+y\mathbf{w},xv+yw>=x^2<\mathbf{v},v>+2xy<\mathbf{v}\mathbf{w}>+y^2<\mathbf{w}\mathbf{w}>

e vale l'uguaglianza se e solo se xv + yw = 0.

Prendendo x=<\mathbf{w}\mathbf{w}> e y=-<\mathbf{v}\mathbf{w}> otteniamo

<\mathbf{w}\mathbf{w}>^2<\mathbf{v},v>-2<\mathbf{w}\mathbf{w}><\mathbf{v}\mathbf{w}>^2+<\mathbf{v}\mathbf{w}>^2<\mathbf{w}\mathbf{w}>

.

Dividendo ambo i membri per <\mathbf{w}\mathbf{w}> otteniamo

0\leq \ <\mathbf{w}\mathbf{w}><\mathbf{v},v>-<\mathbf{v}\mathbf{w}>^2 \Longleftrightarrow <\mathbf{v}\mathbf{w}>^2\leq \ <\mathbf{w}\mathbf{w}><\mathbf{v},v>
\Box

Nota:
Dimostrazione non chiara. da rivedere.


[modifica] Norma di un vettore

Si definisce in uno spazio vettoriale euclideo la norma di un vettore v \in V come

||v||=\sqrt{<\mathbf{v},v>}


Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come |<\mathbf{v}\mathbf{w}>|\ \leq \ ||v||\ ||w||. La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:

  1. ||v|| \geq 0,\ v\neq 0
  2. ||xv|| = |x|\ ||v||,\ \forall x\in \mathbb{K}
  3. ||v+w|| \leq ||v||+||w|| e vale l'uguaglianza se e solo se v e w sono paralleli.

La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:

||v+w||^2 = <v+\mathbf{w},v+w>=||v||^2+2<\mathbf{v}\mathbf{w}>+||w||^2\leq ||v||^2+2||v||\ ||w||+||w||^2=(||v||+||w||)^2\Leftrightarrow ||v+w|| \leq ||v||+||w|| e abbiamo finito.

[modifica] Vettori e insiemi ortogonali

Due vettori \mathbf{v}\mathbf{w} \in V si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se <\mathbf{v}\mathbf{w}>=0.

Sia \{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\} un insieme di vettori non nulli di V. Tale insieme si dice ortogonale se sono ortogonali tutti i vettori dell'insieme presi due a due, cioè se

<\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j>=0\, \ \forall i,j=1,\dots,n\ ,\ i\neq i .

Nel caso <\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j>=1\ ,\ i=j, cioè <\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i>=1, allora l'insieme si dice ortonormale. Equivalentemente, un insieme ortonormale è un insieme ortogonale i cui vettori sono dei versori.


Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.

[modifica] Lemma

Sia \{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n\} un insieme ortogonale. Allora

  1. i \mathbf{w}_i sono linearmente indipendenti;
  2. Se n = dim(V), \{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n\} è una base (ortogonale) di V;
  3. \forall v \in V, il vettore
    v'=\sum_{i=1}^n v-\frac{<\mathbf{v},\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}
    è ortogonale a ciascuno di essi.

[modifica] Dimostrazione

Nota:
fare la dimostrazione


Nota:
scrivere anche la prop 17.3 sulle matrici ortogonali


[modifica] Procedimento di Gram-Schmidt

Sia B=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n) una base di (V, < , > ). Allora O=(\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n) costituito dai vettori

\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1
\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\frac{<\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1>}{<\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1>}\mathbf{w}_1
\vdots
\mathbf{w}_n = \mathbf{v}_n - \sum_{i=1}^{n-1}\frac{<\mathbf{v}_n,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i

è una base ortogonale.


[modifica] Dimostrazione

Osserviamo che \mathbf{w}_i \in \mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_i),\ \forall i \in \{1,\dots,n\} e che ogni \mathbf{w}_i è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche \mathbf{w}_p fosse nullo, avremmo

\mathbf{w}_p = \mathbf{v}_p - \sum_{i=1}^{n-1}\frac{<\mathbf{v}_p,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i \Leftrightarrow \mathbf{v}_p = \sum_{i=1}^{n-1}\frac{<\mathbf{v}_p,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i \in \mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_{n-1}) e questo contraddice l'ipotesi che B sia una base.

Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni \mathbf{w}_p è ortogonale al vettore \mathbf{w}_{p-1} che lo precede nella n-upla O, dunque O è un insieme ortogonale.

Sempre per il Lemma deduciamo che i \mathbf{w}_i sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.

\Box


Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.

[modifica] Proposizione (esistenza di una base ortonormale)

Sia B=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n) una base ortognoale di V. Esiste allora una base ortonormale costituita dai vettori

\mathbf{u}_p=\frac{1}{||\mathbf{v}_p||}\mathbf{v}_p

[modifica] Dimostrazione

<\mathbf{u}_r,\mathbf{u}_s> = < \frac{1}{||\mathbf{v}_s||}\mathbf{v}_s, \frac{1}{||\mathbf{v}_r||}\mathbf{v}_r >=\frac{1}{||\mathbf{v}_r||\ ||\mathbf{v}_s||}<\mathbf{v}_r,\mathbf{v}_s> = \begin{cases}1,\ r=s \\ 0,\ r\neq s \end{cases}

Dunque tutti i vettori \mathbf{u}_i sono ortonormali.

\Box


[modifica] Esempi

  1. Sia (V, < , > ) di dimensione 4 e sia \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\} una base di V ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori
\mathbf{v}_1=(0,1,0,1),\ \mathbf{v}_2=(2,1,0,1),\ \mathbf{v}_3=(-1,0,0,1),\ \mathbf{v}_4=(0,0,1,0)

.

Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.
\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1
\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\frac{<\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2>}{<\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1>}\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_2-\frac{2}{2}\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=2\mathbf{e}_1
\mathbf{w}_3=\mathbf{v}_3-\sum_{i=1}^2\frac{<\mathbf{v}_3,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i=\mathbf{v}_3-\frac{<\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_1>}{<\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1>}\mathbf{v}_1+\frac{<\mathbf{v}_3,2\mathbf{e}_1>}{<2\mathbf{e}_1,2\mathbf{e}_1>}2\mathbf{e}_1=\mathbf{v}_3-\frac{1}{2}\mathbf{v}_1-\frac{-2}{4}2\mathbf{e}_1=-\frac{1}{2}\mathbf{e}_2+\frac{1}{2}\mathbf{e}_4
\mathbf{w}_4=\mathbf{v}_4-\sum_{i=1}^3\frac{<\mathbf{v}_4,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i=\dots=\mathbf{v}_4

Dunque  \left( (0,1,0,1),2\mathbf{e}_1,-\frac{1}{2}\mathbf{e}_2+\frac{1}{2}\mathbf{e}_4, (0,0,1,0) \right) è una base ortogonale di V.

[modifica] Proposizione

Sia \ U=(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n) una base ortogonale dello spazio euclideo V. Poniamo inoltre \mathbf{v}=\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{u}_i e \mathbf{v}'=\sum_{i=1}^n y_i\mathbf{u}_i. Allora

<\mathbf{v,w}>=\sum_{i=1}^n x_iy_i

[modifica] Dimostrazione

<\mathbf{v,w}>=\ <\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{u}_i,\sum_{j=1}^n y_j\mathbf{u}_j>=\sum_{i,j=1}^n x_iy_j <\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j>= \sum_{i=1}^n x_iy_i

\Box


[modifica] Definizione (matrice ortogonale)

Una matrice A \in M_n(\mathbb{K}) dice ortogonale se soddisfa equivalentemente le seguenti condizioni:

  1. tA = A − 1
  2. A\ ^tA=I_n


Osserviamo inoltre che A\in GL_n(\mathbb{K}). Infatti se tA = A − 1, allora A\ ^tA=I_n e ciò implica che \det(A \ ^tA)=1 e dunque \det A \neq 0. Inoltre, A^{-1}=A^{-1}(A\ ^tA)=\ ^tA.

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