Forme bilineari

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Avanzamento lezione: 100% al 1-12-2008.

Indice

1 Forme bilineari
2 Prodotti scalari
- 2.1 Teorema (Disuguaglianza di Schwartz)
  - 2.1.1 Dimostrazione
- 2.2 Norma di un vettore
3 Vettori e insiemi ortogonali
- 3.1 Lemma
  - 3.1.1 Dimostrazione
- 3.2 Procedimento di Gram-Schmidt

In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.

[modifica] Forme bilineari

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ . Una applicazione

$b:V\times V \to \mathbb{K}$

si dice forma bilineare su $V$ e gode delle seguenti proprietà:

$b(\mathbf{v}+\mathbf{v}',\mathbf{w})=b(\mathbf{v},\mathbf{w})+b(\mathbf{v}',\mathbf{w})$
$b(\mathbf{v},\mathbf{w}+\mathbf{w}')=b(\mathbf{v},\mathbf{w})+b(\mathbf{v},\mathbf{w}')$
$b(k\mathbf{v},\mathbf{w})=b(\mathbf{v},k\mathbf{w})=kb(\mathbf{v},\mathbf{w})$

$\forall \mathbf{v},\mathbf{v}',\mathbf{w},\mathbf{w}'\in V,\ \ k \in \mathbb{K}$

Inoltre $b$ si dice simmetrica se

$b(\mathbf{v},\mathbf{w})=b(\mathbf{w},\mathbf{v})$

mentre si dice antisimmetrica se

$b(\mathbf{v},\mathbf{w})=-b(\mathbf{w},\mathbf{v})$

sempre per ogni $\mathbf{v}\mathbf{w} \in V$ .

Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.

La forma bilineare nulla $0(\mathbf{v},\mathbf{w})=0$ è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K})$ e consideriamo i vettori colonna $\mathbf{x},\mathbf{y}$ , abbiamo $b(\mathbf{x},\mathbf{y})=\ ^t\mathbf{x}A\mathbf{y}=\sum_{i,j=1}^n x_ia_{ij} y_i \in \mathbb{K}$ Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
Se la matrice dell'esempio 2 $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K})$ è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su $\mathbb{K}$ definita come

$b(\mathbf{x},\mathbf{y})=\ ^t\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\sum_{i,j=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \in \mathbb{K}$

Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare.

Sia $V$ un $\mathbb{K}$ -spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ una sua base. Sia inoltre $b:V \times V \to \mathbb{K}$ una forma bilineare su $V$ . Allora la matrice di $b$ rispetto alla base appena definita è

$A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K})\ : \ a_{ij}=b(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j),\ i\geq 1,j\leq n$

[modifica] Prodotti scalari

Una forma bilineare simmetrica su $V$ si dice prodotto scalare se

$b(\mathbf{v},\mathbf{v})=0 \Leftrightarrow v=0 \wedge b(\mathbf{v},\mathbf{v})\geq 0$

Il prodotto scalare si indica con il simbolo $< , >$ .

Quel prodotto scalare tale che

$<\mathbf{v}\mathbf{w}>=x_1\mathbf{w}_1+x_2\mathbf{w}_2+\dots+\mathbf{v}_n\mathbf{w}_n$

si indica con $v \cdot w$ e si chiama prodotto scalare standard.

Uno spazio vettoriale

V

nel quale è definita l'operazione di prodotto scalare, si indica con

(V, < , > )

e prende il nome di spazio vettoriale euclideo.

[modifica] Teorema (Disuguaglianza di Schwartz)

Siano $\mathbf{v}\mathbf{w} \in V$ . Allora

$<\mathbf{v}\mathbf{w}>^2 \ \leq \ <\mathbf{v},v><\mathbf{w}\mathbf{w}>$ e l'uguaglianza vale se e solo se

v

e

w

sono paralleli.

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.

$0 \leq \ <xv+y\mathbf{w},xv+yw>=x^2<\mathbf{v},v>+2xy<\mathbf{v}\mathbf{w}>+y^2<\mathbf{w}\mathbf{w}>$

e vale l'uguaglianza se e solo se $x v + y w = 0$ .

Prendendo $x=<\mathbf{w}\mathbf{w}>$ e $y=-<\mathbf{v}\mathbf{w}>$ otteniamo

$<\mathbf{w}\mathbf{w}>^2<\mathbf{v},v>-2<\mathbf{w}\mathbf{w}><\mathbf{v}\mathbf{w}>^2+<\mathbf{v}\mathbf{w}>^2<\mathbf{w}\mathbf{w}>$

.

Dividendo ambo i membri per $<\mathbf{w}\mathbf{w}>$ otteniamo

$0\leq \ <\mathbf{w}\mathbf{w}><\mathbf{v},v>-<\mathbf{v}\mathbf{w}>^2 \Longleftrightarrow <\mathbf{v}\mathbf{w}>^2\leq \ <\mathbf{w}\mathbf{w}><\mathbf{v},v>$

$\Box$

Nota:
Dimostrazione non chiara. da rivedere.

[modifica] Norma di un vettore

Si definisce in uno spazio vettoriale euclideo la norma di un vettore $v \in V$ come

$||v||=\sqrt{<\mathbf{v},v>}$

Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come $|<\mathbf{v}\mathbf{w}>|\ \leq \ ||v||\ ||w||$ . La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:

$||v|| \geq 0,\ v\neq 0$
$||xv|| = |x|\ ||v||,\ \forall x\in \mathbb{K}$
$||v+w|| \leq ||v||+||w||$ e vale l'uguaglianza se e solo se $v$ e $w$ sono paralleli.

La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:

$||v+w||^2 = <v+\mathbf{w},v+w>=||v||^2+2<\mathbf{v}\mathbf{w}>+||w||^2\leq ||v||^2+2||v||\ ||w||+||w||^2=(||v||+||w||)^2$ $\Leftrightarrow ||v+w|| \leq ||v||+||w||$ e abbiamo finito.

[modifica] Vettori e insiemi ortogonali

Due vettori $\mathbf{v}\mathbf{w} \in V$ si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se $<\mathbf{v}\mathbf{w}>=0$ .

Sia $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ un insieme di vettori non nulli di $V$ . Tale insieme si dice ortogonale se sono ortogonali tutti i vettori dell'insieme presi due a due, cioè se

$<\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j>=0\, \ \forall i,j=1,\dots,n\ ,\ i\neq i$ .

Nel caso $<\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j>=1\ ,\ i=j$ , cioè $<\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i>=1$ , allora l'insieme si dice ortonormale. Equivalentemente, un insieme ortonormale è un insieme ortogonale i cui vettori sono dei versori.

Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.

[modifica] Lemma

Sia $\{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n\}$ un insieme ortogonale. Allora

i $\mathbf{w}_i$ sono linearmente indipendenti;
Se $n = dim(V)$ , $\{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n\}$ è una base (ortogonale) di $V$ ;
$\forall v \in V$ , il vettore $v'=\sum_{i=1}^n v-\frac{<\mathbf{v},\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}$ è ortogonale a ciascuno di essi.

[modifica] Dimostrazione

Nota:
fare la dimostrazione

Nota:
scrivere anche la prop 17.3 sulle matrici ortogonali

[modifica] Procedimento di Gram-Schmidt

Sia $B=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)$ una base di $(V, < , > )$ . Allora $O=(\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n)$ costituito dai vettori

$\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1$

$\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\frac{<\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1>}{<\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1>}\mathbf{w}_1$

$\vdots$

$\mathbf{w}_n = \mathbf{v}_n - \sum_{i=1}^{n-1}\frac{<\mathbf{v}_n,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i$

è una base ortogonale.

[modifica] Dimostrazione

Osserviamo che $\mathbf{w}_i \in \mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_i),\ \forall i \in \{1,\dots,n\}$ e che ogni $\mathbf{w}_i$ è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche $\mathbf{w}_p$ fosse nullo, avremmo

$\mathbf{w}_p = \mathbf{v}_p - \sum_{i=1}^{n-1}\frac{<\mathbf{v}_p,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i \Leftrightarrow \mathbf{v}_p = \sum_{i=1}^{n-1}\frac{<\mathbf{v}_p,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i \in \mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_{n-1})$ e questo contraddice l'ipotesi che

B

sia una base.

Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni $\mathbf{w}_p$ è ortogonale al vettore $\mathbf{w}_{p-1}$ che lo precede nella n-upla $O$ , dunque $O$ è un insieme ortogonale.

Sempre per il Lemma deduciamo che i $\mathbf{w}_i$ sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.

$\Box$

Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.

[modifica] Proposizione (esistenza di una base ortonormale)

Sia $B=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)$ una base ortognoale di $V$ . Esiste allora una base ortonormale costituita dai vettori

$\mathbf{u}_p=\frac{1}{||\mathbf{v}_p||}\mathbf{v}_p$

[modifica] Dimostrazione

$<\mathbf{u}_r,\mathbf{u}_s> = < \frac{1}{||\mathbf{v}_s||}\mathbf{v}_s, \frac{1}{||\mathbf{v}_r||}\mathbf{v}_r >=\frac{1}{||\mathbf{v}_r||\ ||\mathbf{v}_s||}<\mathbf{v}_r,\mathbf{v}_s> = \begin{cases}1,\ r=s \\ 0,\ r\neq s \end{cases}$

Dunque tutti i vettori $\mathbf{u}_i$ sono ortonormali.

$\Box$

[modifica] Esempi

Sia $(V, < , > )$ di dimensione 4 e sia $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\}$ una base di $V$ ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori

$\mathbf{v}_1=(0,1,0,1),\ \mathbf{v}_2=(2,1,0,1),\ \mathbf{v}_3=(-1,0,0,1),\ \mathbf{v}_4=(0,0,1,0)$

.

Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.

$\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1$

$\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\frac{<\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2>}{<\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1>}\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_2-\frac{2}{2}\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=2\mathbf{e}_1$

$\mathbf{w}_3=\mathbf{v}_3-\sum_{i=1}^2\frac{<\mathbf{v}_3,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i=$ $\mathbf{v}_3-\frac{<\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_1>}{<\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1>}\mathbf{v}_1+\frac{<\mathbf{v}_3,2\mathbf{e}_1>}{<2\mathbf{e}_1,2\mathbf{e}_1>}2\mathbf{e}_1=$ $\mathbf{v}_3-\frac{1}{2}\mathbf{v}_1-\frac{-2}{4}2\mathbf{e}_1=-\frac{1}{2}\mathbf{e}_2+\frac{1}{2}\mathbf{e}_4$

$\mathbf{w}_4=\mathbf{v}_4-\sum_{i=1}^3\frac{<\mathbf{v}_4,\mathbf{w}_i>}{<\mathbf{w}_i,\mathbf{w}_i>}\mathbf{w}_i=\dots=\mathbf{v}_4$

Dunque $\left( (0,1,0,1),2\mathbf{e}_1,-\frac{1}{2}\mathbf{e}_2+\frac{1}{2}\mathbf{e}_4, (0,0,1,0) \right)$ è una base ortogonale di $V$ .

[modifica] Proposizione

Sia $\ U=(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n)$ una base ortogonale dello spazio euclideo $V$ . Poniamo inoltre $\mathbf{v}=\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{u}_i$ e $\mathbf{v}'=\sum_{i=1}^n y_i\mathbf{u}_i$ . Allora

$<\mathbf{v,w}>=\sum_{i=1}^n x_iy_i$

[modifica] Dimostrazione

$<\mathbf{v,w}>=\ <\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{u}_i,\sum_{j=1}^n y_j\mathbf{u}_j>=\sum_{i,j=1}^n x_iy_j <\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j>= \sum_{i=1}^n x_iy_i$

$\Box$

[modifica] Definizione (matrice ortogonale)

Una matrice $A \in M_n(\mathbb{K})$ dice ortogonale se soddisfa equivalentemente le seguenti condizioni:

$t A = A - 1$
$A\ ^tA=I_n$

Osserviamo inoltre che $A\in GL_n(\mathbb{K})$ . Infatti se $t A = A - 1$ , allora $A\ ^tA=I_n$ e ciò implica che $\det(A \ ^tA)=1$ e dunque $\det A \neq 0$ . Inoltre, $A^{-1}=A^{-1}(A\ ^tA)=\ ^tA$ .