Forme differenziali lineari

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Lavoro e campi conservativi

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ un aperto connesso; si dice campo di forze un'applicazione $\mathbf {F} :\mathbf {x} \in A\rightarrow \mathbf {F} (\mathbf {x} )=\left(F_{1}(\mathbf {x} ),F_{2}(\mathbf {x} ),F_{3}(\mathbf {x} )\right)\in \mathbb {R} ^{3}$, che ad ogni punto $\mathbf {x} \in A$ associa un vettore $\mathbf {F} (\mathbf {x} )$, che rappresenta la forza agente su di una particella puntiforme posta in $\mathbf {x} \in A$.

Data una curva regolare a tratti $\gamma$ di estremi $P_{1}$ e $P_{2}$, tale che il suo sostegno $\Gamma ={\mbox{Im}}\gamma$ sia contenuto in $A$, si definisce il lavoro compiuto su di una particella per spostarla, lungo la curva, da $P_{1}$ a $P_{2}$ come:

$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {T} (\mathbf {x} )\,ds$,

dove $\mathbf {T} (\mathbf {x} )$ indica il versore tangente alla curva nel punto $\mathbf {x}$.

Un campo di forze $\mathbf {F} :A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ si dice conservativo se il lavoro $W$ compiuto dal campo di forze per spostare una particella da un generico punto $P_{1}$ ad un punto $P_{2}$ non dipende dalla curva $\gamma$ lungo cui ci si sposta, ma solo dai due estremi e dal verso di percorrenza.

Esempio

Consideriamo il campo di forze generato da una particella puntiforme, di massa $M$, posta nell'origine del sistema di riferimento assegnato. Il campo di forze agente su di una qualsiasi altra particella di massa $m$ è, come è noto dalla Fisica:

$\mathbf {F} :(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}-\{0\}\rightarrow \mathbf {F} (x,y,z)=-{\frac {GmM}{r^{2}}}\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\in \mathbb {R} ^{3}$,

dove $G$ è la costante di gravitazione universale, ed $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ è la distanza della particella di massa $m$ dall'origine.

Consideriamo ora una curva regolare a tratti $\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, di equazioni parametriche $\gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))\,\!$; il lavoro compiuto per spostare la particella di massa $m$ lungo $\gamma$, dal punto $\gamma (a)$ al punto $\gamma (b)$, è:

${\begin{array}{rcl}W&=&\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\gamma (t))\cdot \left({\frac {x'(t)}{\left|\gamma '(t)\right|}},{\frac {y'(t)}{\left|\gamma '(t)\right|}},{\frac {z'(t)}{\left|\gamma '(t)\right|}}\right)\left|\gamma '(t)\right|dt=\\\\&=&-GmM\int _{a}^{b}{\frac {x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t)}{\left(x^{2}(t)+y^{2}(t)+z^{2}(t)\right)^{3/2}}}\,dt=\\\\&=&-GmM\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\left(-\left(x^{2}(t)+y^{2}(t)+z^{2}(t)\right)^{-1/2}\right)dt=\\\\&=&GmM\left({\frac {1}{\left|\gamma (b)\right|}}-{\frac {1}{\left|\gamma (a)\right|}}\right)\end{array}}$

Dal risultato si evince che il lavoro $W$ non dipende dalla particolare curva scelta, ma solo dalla posizione iniziale e finale da essa assunte, ovvero il campo di forze da noi considerato è conservativo.

Questa proprietà sarà approfondita nella trattazione delle forme differenziali esatte.

Forme differenziali lineari

Formalizziamo ora un concetto di cui quanto visto nel paragrafo precedente è un caso particolare; prima di procedere, abbiamo bisogno di alcune nozioni preliminari di Algebra lineare.

Nota:
inserire collegamento alla lezione di algebra lineare sui funzionali lineari, al momento non esistente

Un generico elemento dello spazio duale $\left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{*}$di $\mathbb {R} ^{n}$, ovvero un generico funzionale lineare su $\mathbb {R} ^{n}$, può sempre essere scritto nella forma

$L=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e^{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}dx_{i}$,

dove gli $a_{i}$ sono numeri reali, e $e^{i}=dx_{i}$, $i=1,2,\ldots ,n$, è il funzionale lineare che ad ogni vettore $h\in \mathbb {R} ^{n}$ associa la sua componente i-esima $h_{i}$.

Il funzionale $L:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ vale quindi

$L(\mathbf {h} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e^{i}(\mathbf {h} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}dx_{i}(\mathbf {h} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}h_{i},\quad \forall \mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}$.

Poiché i funzionali $\left\{e^{1},e^{2},\ldots ,e^{n}\right\}$ costituiscono una base per $\left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{*}$, la rappresentazione utilizzata per un generico funzionale lineare su $\mathbb {R} ^{n}$ è unica.

Definizione

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un aperto. Si dice forma differenziale lineare un'applicazione $\omega :A\rightarrow \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{*}$ che ad ogni $\mathbf {x} \in A$ associa il funzionale lineare su $\mathbb {R} ^{n}$

$\omega (\mathbf {x} )(\mathbf {h} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(\mathbf {x} )dx_{i}(\mathbf {h} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(\mathbf {x} )h_{i},\quad \forall \mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}$.

Le funzioni $a_{1}(\mathbf {x} ),a_{2}(\mathbf {x} ),\ldots ,a_{n}(\mathbf {x} )$ sono i coefficienti della forma differenziale; se tutti i coefficienti sono di classe $C^{k}$, con $k\geq 0$, la forma differenziale si dice di classe $C^{k}$.

Esempio

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ un aperto. Una generica forma differenziale lineare $\omega :A\rightarrow \left(\mathbb {R} ^{3}\right)^{*}$ si può rappresentare nella forma

$\omega (x,y,z)=a(x,y,z)dx+b(x,y,z)dy+c(x,y,z)dz\,\!$.

Possiamo sempre associare ad essa il campo di forze $\mathbf {F} :A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ definito come:

$\mathbf {F} (x,y,z)=\left(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)\right)$,

le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale.

Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare

Definizione

Sia $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ un aperto. Date una forma differenziale lineare continua $\omega :A\rightarrow \left(R^{n}\right)^{*}$ ed una curva regolare a tratti $\gamma :[a,b]\rightarrow A$, di equazioni parametriche $x_{i}=x_{i}(t),\;i=1,2,\ldots ,n$, si definisce integrale della forma differenziale esteso alla curva $\gamma$ l'integrale:

$\int _{\gamma }\omega \equiv \int _{\gamma }\omega (\mathbf {x} )\left(\mathbf {T} (\mathbf {x} )\right)\,ds=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}a_{i}\left(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots ,x_{n}(t)\right)x_{i}'(t)\,dt,$

dove $\mathbf {T} (\mathbf {x} )$ è il versore tangente alla curva in $\mathbf {x}$.

Proprietà

Elenchiamo ora alcune proprietà che derivano immediatamente dalla definizione:

1. Se indichiamo con $-\gamma$ la curva equivalente a $\gamma$, ma con orientazione opposta, risulta:

   $\int _{-\gamma }^{\,\!}\omega =-\int _{\gamma }\omega$

2. Se spezziamo $\gamma$ in $k$ curve regolari a tratti $\gamma _{i}:[t_{i-1},t_{i}]\rightarrow A,$ con $a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{k}=b,$ e $\gamma _{i}=\gamma \upharpoonright _{[t_{i-1},t_{i}]},$ risulta:

   $\int _{\gamma }\omega =\sum _{i=1}^{k}\int _{\gamma _{i}}\omega$

3. Se $\omega$ e $\zeta$ sono forme differenziali lineari continue in $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ e $\alpha ,\beta$ sono numeri reali, risulta:

   $\int _{\gamma }\left(\alpha \omega +\beta \zeta \right)=\alpha \int _{\gamma }\omega +\beta \int _{\gamma }\zeta$

Esempio

Sia $\omega (x,y,z)=a(x,y,z)dx+b(x,y,z)dy+c(x,y,z)dz\,\!$ una forma differenziale lineare continua, definita in un aperto $A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, e $\gamma (t)=\left(x(t),y(t),z(t)\right)$, con $t\in [a,b]$, una curva regolare a tratti con sostegno in $A$. Risulta:

$\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }\omega (x,y,z)\left(\mathbf {T} (x,y,z)\right)\,ds=$

$=\int _{a}^{b}\left\{a(x(t),y(t),z(t))x'(t)+b(x(t),y(t),z(t))y'(t)+c(x(t),y(t),z(t))z'(t)\right\}\,dt.$

Tale integrale coincide con il lavoro $W$ compiuto per spostare una particella da $\gamma (a)$ a $\gamma (b)$ lungo la curva dal campo di forze

$\mathbf {F} (x,y,z)=\left(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)\right).$