Esercizio sul codice di Hamming 7 4

Esempio: Codice di Hamming

Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.

Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo $P_{\epsilon }(b)=10^{-3}$.

Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.

Siccome il canale è indipendente, ogni singolo bit è indipendente dall'altro, cioè possiamo usare le prove bernoulliane.

Lo spazio campione è

$\Omega =\{0,1\}$

dove $0$ indica che non c'è stato errore, $1$ indica che c'è stato un errore. Si ha

$F=\{\varnothing ,\{1\},\{0\},\{0,1\}\}$

e si hanno:

• $P(0)=1-10^{-3}$
• $P(1)=10^{-3}$

Una parola è errata quando ci sono almeno due errori. L'evento errore è

• $C={\text{ sbaglio almeno 2 bit sulla parola }}=\{(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{7})\}\in {\hat {F}}{\text{ t.c. }}\sum _{i}c_{i}\geq 2$

mentre l'evento successo è

• ${\bar {C}}=\{(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{7})\}\in {\hat {F}}{\text{ t.c. }}\sum _{i}c_{i}<2$

Sappiamo che

$P_{n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$

quindi

$P(C)=\sum _{k=2^{7}}P_{7}(k)=\sum _{k=2}^{7}{\binom {7}{k}}p^{k}q^{7-k}$

il che vuol dire che la somma delle probabilità che ci siano $k=2,3,4,5,6,7$ errori è la probabilità totale. Vale

$P(C)=1-P({\bar {C}})=1-{\binom {7}{0}}p^{0}\cdot q^{7}-{\binom {7}{1}}p^{1}\cdot q^{6}$

Se la parola non fosse codificata, allora l'unica probabilità di avere la parola giusta sarebbe la totale assenza di errori.