Equazione di Schrödinger

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Indice

1 Equazione di Schrödinger
2 Particella libera
3 Buca di potenziale
4 Oscillatore armonico
5 Particella in un campo a simmetria sferica
6 Particella in un campo coulombiano. Spettro discreto

[modifica] Equazione di Schrödinger

La funzione d'onda $Ψ$ di una particella (o di un sistema di particelle) in un campo di forze esterne descritte dal potenziale $U(\mathbf{r})$ soddisfa l'equazione di Schrödinger:

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi+ U(\mathbf{r})\Psi$

[modifica] Particella libera

Funzione d'onda di una particella libera con impulso $\mathbf{p}$ ed energia $\mathcal{E}$ :

$\Psi=\mathrm{cost.}\times\exp \left(\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-\mathcal{E}t)\right)$

$\lambda=2\pi \hbar/ p$ è la lunghezza d'onda di de Broglie associata alla particella. La meccanica classica corrisponde al caso limite di piccole lunghezze d'onda di de Broglie.

[modifica] Buca di potenziale

Livelli energetici di una particella in una buca di potenziale di larghezza $a$ e di altezza infinita:

$\mathcal{E}_n =\frac{\hbar^2}{2m}\pi^2\frac{n^2}{a^2}\qquad (n=1,2,3,...)$

Funzioni d'onda degli stati stazionari:

$\psi_n(x)=\mathrm{cost.}\times \sin \frac{n\pi x}{a}\qquad (0<x<a)$

[modifica] Oscillatore armonico

Livelli energetici di un oscillatore armonico:

$\mathcal{E}_n =\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar \omega\qquad (n=0,1,2,...)$

Funzioni d'onda degli stati stazionari:

$\psi_n(x)=\mathrm{cost.}\times e^{-(\alpha x)^2/2}H_n(\alpha x),\qquad \alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$

( $H n (ξ)$ sono i polinomi di Hermite)

[modifica] Particella in un campo a simmetria sferica

La funzione d'onda di una particella in un campo $U(\bar{r})=U(r)$ (simmetria sferica) ha la forma seguente:

$\psi=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$

dove $Y l m$ sono le funzioni armoniche sferiche. Gli stati corrispondenti ai valori $l = 0,1,2,3,4,...$ del momento angolare si indicano con le lettere $s, p, d, f, g,...$

[modifica] Particella in un campo coulombiano. Spettro discreto

Livelli energetici di una particella in un campo coulombiano attrattivo $U = - α / r$ :

$\mathcal{E}_n =-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\qquad (n=1,2,3,...)$

Funzioni radiali degli stati stazionari (in unità $\alpha,m,\hbar$ ):

$R_{nl}=\mathrm{cost.} \times e^{-r/n}\left(\frac{2r}{n}\right)^lL_{n+l}^{2l+1}(2r/n)$

( $L_{n+l}^{2l+1}(\xi)$ sono i polinomi generalizzati di Laguerre)

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[modifica] Particella libera

[modifica] Buca di potenziale

[modifica] Oscillatore armonico

[modifica] Particella in un campo a simmetria sferica

[modifica] Particella in un campo coulombiano. Spettro discreto

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