Equazione con il valore assoluto

Viene detta equazione con il valore assoluto un'equazione in cui la variabile appare anche all'interno di un'espressione della quale viene preso il valore assoluto. Un esempio:

$|x+5|=0\;$

Tali equazioni sono generalmente considerate a valori interi, razionali o reali, anche se formalmente sarebbe possibile considerare il valore assoluto di un numero complesso.

Risoluzione

Anche se il grado di un'equazione con il valore assoluto rimane lo stesso dell'equazione che si otterrebbe sostituendo al valore assoluto una semplice parentesi, per queste equazioni non vale il teorema fondamentale dell'algebra: ad esempio, l'equazione

$|x+1|+|x-1|=0\;$

non ha soluzioni (reali o anche complesse), come si può facilmente notare considerando che il valore assoluto di una funzione è sempre maggiore o uguale a zero, che |x+1| vale zero solo quando x=-1 e |x-1| vale zero solo quando x=1; queste due condizioni sono tra loro incompatibili. È anche possibile il caso opposto, vale a dire che un'equazione con il valore assoluto abbia più soluzioni di quante ne dovrebbe avere dato il suo grado. Ad esempio,

$|x|=1\;$

ha le due soluzioni $x=1\;$ e $x=-1\;$.

In generale, la risoluzione di un'equazione con il valore assoluto si riconduce a quella di una serie di sistemi con equazioni e disequazione|disequazioni. Per ogni espressione nella quale la variabile appare all'interno di un valore assoluto, vengono creati due sistemi: nel primo si toglie il simbolo di valore assoluto e si assume che la sottoespressione sia positiva, nel secondo si toglie il simbolo di valore assoluto cambiando segno alla sottoespressione, e la si assume negativa. Un esempio pratico: data l'equazione

$|x^{2}-x-2|-|x+1|=1\;$

lavorando sulla sottoespressione $|x+1|\;$, otteniamo i due sistemi

($a\;$) $\left\{{\begin{matrix}x+1\geq 0\\|x^{2}-x-2|-(x+1)=1\end{matrix}}\right.$

($b\;$) $\left\{{\begin{matrix}x+1\leq 0\\|x^{2}-x-2|+(x+1)=1\end{matrix}}\right.$

che a loro volta portano ai quattro sistemi

($a_{1}\;$) $\left\{{\begin{matrix}x+1\geq 0\\x\leq -1{\mbox{, oppure }}x\geq 2\\(x^{2}-x-2)-(x+1)=1\end{matrix}}\right.$

($a_{2}\;$) $\left\{{\begin{matrix}x+1\geq 0\\-1\leq x\leq 2\\(-x^{2}+x+2)-(x+1)=1\end{matrix}}\right.$

($b_{1}\;$) $\left\{{\begin{matrix}x+1\leq 0\\x\leq -1{\mbox{, oppure }}x\geq 2\\(x^{2}-x-2)+(x+1)=1\end{matrix}}\right.$

($b_{2}\;$) $\left\{{\begin{matrix}x+1\leq 0\\-1\leq x\leq 2\\(-x^{2}+x+2)+(x+1)=1\end{matrix}}\right.$

Le equazioni corrispondenti ai quattro sistemi danno come risultato rispettivamente

($a_{1}\;$) $x=1\pm {\sqrt {5}}$

($a_{2}\;$) $x=0\,\!$

($b_{1}\;$) $x=\pm {\sqrt {2}}$

($b_{2}\;$) $x=1\pm {\sqrt {3}}$

Di tutti questi risultati, gli unici che soddisfano anche i vincoli delle disequazioni, e che pertanto sono le soluzioni dell'equazione originaria, sono $x=1+{\sqrt {5}};x=0;x=-{\sqrt {2}}$.