Diagonalizzazione degli Endomorfismi e autovettori

Avanzamento lezione: 25% al 24-05-2013.

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Similitudine di matrici

Diamo la definizione di similitudine tra due matrici.

Siano $M,M'$ due matrici quadrate di ordine $n$.

$M'$ si dice simile a $M$ se esiste una matrice $H$ invertibile di ordine anch'essa $n$ tale che

$M'=H^{-1}MH$.

La similitudine è una relazione di equivalenza su $M_m(\mathbb{K})$ (provate a dimostrarlo per esercizio).

Proposizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ di dimensione $n$ e siano $A,B \in M_{n \times n}(\mathbb{K})$. Allora $A$ e $B$ sono simili se e solo se

$\exist f \in End(V), \exists B,B'$ basi di $V$ tali che

$M_{B}(f)=A ^ M_{B'}(f)=B$

Dimostrazione

$\Box$

Diagonalizzabilità

L'equazione $X'=M_B(f)X$ dell'endomorfismo $f \in End(V)$ assumerebbe una forme particolarmente semplice se $M_B(f)$ fosse diagonale. Dunque ci si pone il problema di stabilire se una data matrice $M \in M_m(\mathbb{K})$ è o meno simile ad una qualche matrice diagonale.

Una matrice $M \in M_m(\mathbb{K})$ è detta diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale, cioè se esiste una matrice $D\in GL_m(\mathbb{K})$ tale che

$D^{-1}MD=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & \dots \ & \lambda_m \end{pmatrix} = {\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)$

La matrice $D$ è detta matrice diagonalizzante.

Un endomorfismo $f \in End(V)$, $\dim V = m$ si dice diagonizzabile se esiste una base $B=(v_1,\dots,v_m)$ di $V$tale che

$M_B(f)={\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_m)$

o equivalentemente

$f(v_i)=\lambda v_i, i \in \{1,\dots,m\}$

La base $B$ è detta diagonalizzante.

In definitiva, $f$ è diagonalizzabile se e solo se la matrice $M_B(f)$ relativa ad una qualsiasi base $B$ di $V$ lo è anch'essa.

Dall'ultima definizione possiamo ora dare la definizione di autovalore e autovettore.

Autovalori e Autovettori

Sia $v$ un vettore non nullo di $V$. $v$ si dice autovettore di $f \in End(V)$ se esiste uno scalare $\lambda \in \mathbb{K}$ tale che

$f(v)=\lambda v$.

Lo scalare $\lambda$ con questa proprietà viene detto autovalore di $f$ relativo all'autovettore $v$.

La definizione è estensibile anche alle matrici. Infatti definiamo autovettore della matrice $M\in M_m(\mathbb{K})$ un vettore non nullo $X=\ ^t(x_1, x_2, \dots, x_m) \in \mathbb{K}^m$ della matrice $M$ se esiste $\lambda \in \mathbb{K}$ autovalore di $M$ tale che

$MX=\lambda X$.

Prima di procedere con alcune proposizioni, vediamo alcuni esempi.

Esempi

• Sia $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ l'endomorfismo definito da $f(x,y)=(2x,y)$. Cerchiamo degli autovalori e autovettori. Applicando la definizione, dobbiamo trovare un vettore $v \in \mathbb{R}^2$ tale che $f(v)=\lambda v$, per un qualche $\lambda \in \mathbb{R}$ autovalore di $v$.Innanzitutto notiamo che trovare gli autovalori equivale a risolvere $f(v)-\lambda f(v) = 0$, cioè

$(2x,y)-\lambda (x,y) = 0 \rightarrow (2x,y)=(\lambda x,\lambda y)$. Questa equazione si annulla per $\lambda = 2$ se $y=0$, oppure per $\lambda = 1$ se $x=0$. Non ci sono altre soluzioni, dunque non ci sono altri autovalori.

Quali sono gli autovettori associati agli autovalori $\lambda =1$ e $\lambda =2$? Come detto prima, tutti i vettori che soddisfano l'equazione sopra. Dunque gli autovettori sono coppie del tipo $\begin{cases}(x,0) \text{ per } \lambda=2 \\ (0,y) \text{ per } \lambda=1\end{cases}$.

• Consideriamo ora il caso di $f:V\to V, f(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})=(-y\mathbf{i},-x\mathbf{j})$. Cerchiamo ora gli autovalori.

$(-y,-x)-\lambda (x,y) \rightarrow \begin{cases}-y-\lambda x = 0 \\ -x -\lambda y = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}\lambda x +y =0 \\ x + \lambda y = 0 \end{cases}$.

Il sistema lineare omogeneo ha soluzione per $\lambda = \pm 1$, dunque $\pm 1$ sono gli autovalori. Per trovare gli autovettori, risolviamo il sistema precedente sostituendo a $\lambda$ -1 e poi 1.

$\begin{cases}-x +y =0 \\ x - y = 0 \end{cases} \rightarrow (x,x)$

$\begin{cases}x +y =0 \\ x +y = 0 \end{cases} \rightarrow (x,-x)$

Gli autovettori sono dunque i vettori di tipo $(x,x)$ per l'autovalore $-1$ e $(x,-x)$ per l'autovalore $1$.

Proposizione

$f \in End(V)$ è diagonalizzabile se e solo se possiede una base costituita da autovettori.

Dimostrazione

Prendiamo come base di $V$ la base canonica $E^n=(e_1,\dots,e_n)$. Comunque sia definita $f$, abbiamo che $f(e_i)=\lambda e_i$, dunque la base canonica è una base costituita da autovettori.

• $\Leftarrow )$

La matrice $M_B(f)$ associata all'endomormismo $f$ è

$M_B(f)=\begin{pmatrix}f(e_1) & \dots &f(e_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1 e_1 & \dots &\lambda_n e_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 &\dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 &\dots & 0 \\ \vdots & &\ddots & & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 & & \dots& 0&\lambda_n \end{pmatrix}$

che è una matrice diagonale. Dunque, per la definizione, $f$ è diagonalizzabile.

• $\Rightarrow )$

$\Box$

Proposizione

Sia $B=(v_1,\dots,v_n)$ una base di $V$. Allora $v\in V = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n$ è un autovettore di $f \in End(V)$ relativo all'autovalore $\lambda$ se e solo se $X=\ ^t(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ è un autovettore della matrice $M_B(f)$ relativo allo stesso autovalore $\lambda$.