Concetti fondamentali di fisica quantistica

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Indice

[modifica] Concetti fondamentali

[modifica] Funzione d'onda

Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda (a valori complessi) Ψ(q,t). Il quadrato del modulo |\Psi|^2 = \bar{\Psi} \Psi di tale funzione (dove \bar{\Psi} oppure Ψ * indica il complesso coniugato) viene interpretato come probabilità del sistema all'istante t di coordinate q .

[modifica] Autovalori e autofunzioni

Consideriamo una grandezza fisica f caratteristica di un sistema quantistico. Gli autovalori della grandezza f sono i valori fn che la grandezza può assumere, e le autofunzioni Ψn sono le funzioni d'onda degli stati in cui f = fn.

[modifica] Operatori

Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza f sono determinati dall'equazione

\hat f\Psi=f \Psi

dove \hat f è l'operatore associato alla grandezza.

Il valore medio di f, nello stato descritto dalla funzione d'onda Ψ, è

<f>=\int \Psi^*\hat f\Psi\, dq

[modifica] Spettro discreto

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza f con uno spettro discreto:

\Psi=\sum a_n \Psi_n \qquad a_n=\int \Psi_n^*\Psi\, dq

[modifica] Spettro continuo

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza f con uno spettro continuo:

\Psi(q)=\int a_f \Psi_f(q)\,df \qquad a_f=\int \Psi_f^*(q)\Psi(q)\, dq

[modifica] Operatore impulso

Operatore associato all'impulso (quantità di moto) di una particella:

\hat \mathbf{p}=-i\hbar \nabla

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

[\hat{p}_i,x_j]=-i\hbar \delta_{ij}

Relazioni di indeterminazione:

\Delta p_i \Delta x_i \sim \hbar

Il valore minimo dell'indeterminazione è \hbar/2, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

[modifica] Operatore hamiltoniano

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

\hat \mathcal{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici \mathcal{E}_n. A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

\Psi_n(q,t)=\exp \left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{E}_n t\right)\psi_n(q)

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo \mathcal{E}_0 dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

[modifica] Matrici

Gli elementi di matrice di una grandezza f sono definiti dallo sviluppo delle funzioni \hat f \psi_n sul sistema ortonormale \left\{ \psi_n \right\} costituito dalle autofunzioni dell'energia:

f_{mn}=\int \psi_m^* \hat{f}\psi_n\,dq

Gli elementi diagonali fnn sono i valori medi della grandezza f negli stati ψn

Elementi di matrice dipendenti dal tempo:

f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega_{mn}t}, \qquad \omega_{mn}= \frac{\mathcal{E} _m-\mathcal{E} _n}{\hbar}
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