Cinematica una dimensione

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Facoltà di ScienzeMFN - Materia: Fisica matematica
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Lezione 1:
Cinematica in una dimensione



Indice


La cinematica fornisce una descrizione di come un oggetto si muove.

[modifica] Moto di un punto

Per definire il moto bisogna parlare di spazio e di tempo, descrivendo il moto in relazione ad un qualche sistema di riferimento (ad esempio l'asse reale o un sistema cartesiano).

[modifica] Spostamento

Lo spostamento di un punto da x1 a x2, con x_1 \leq x_2, denotato con Δx, è definito come

Δx = x2 − x1

e può anche essere negativo (ad esempio, qualora si volesse dare l'idea di non "avanzare" ma di "indietreggiare").

Lo spostamento si misura in metri (m)

[modifica] Esempio

\left\{ \begin{matrix}x_1 = 5{\rm m} \\ x_2= 15{\rm m} \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta_x = 15 - 5 = 10{\rm m}
\left\{ \begin{matrix}x_1 = 15{\rm m} \\ x_2= 5{\rm m} \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta_x = 5 -1 5 = -10{\rm m}

[modifica] Intervallo di tempo

L'intervallo di tempo tra due istanti t1 e t2, con t_1 \leq t_2, è definito come

Δt = t2 − t1

ed si misura in secondi (s).

[modifica] Velocità

Solitamente per velocità intenderemo la velocità scalare media, definita come il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato per percorrerla, cioè

\mathbf{v}=\frac{\Delta_x}{\Delta_t} = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}

e si misura in metri al secondo \left( \frac{m}{s} \right).

Esiste anche la velocità istantanea, la cui differenza con la velocità media è il fatto di calcolare tale velocità considerando un intervallo di tempo infinitamente piccolo, cioè

v=\lim_{\Delta_t \to 0}\frac{\Delta_x}{\Delta_t}
[modifica] Esempio

Una macchina percorre una distanza di 30 metri in 5 secondi. Qual'è la sua velocità (media)?
\mathbf{v}= \frac{\Delta_x}{\Delta_t} =\frac{30}{5}=6\frac{{\rm m}}{{\rm s}}

[modifica] Accelerazione

L' accelerazione è la variazione della velocità in un intervallo di tempo. È definita come

\mathbf{a}=\frac{\Delta_v}{\Delta_t}

e si misura in \frac{{\rm m}}{{\rm s}^2}. Analogamente è definita l'accelerazione istantanea, considerando un Δt infinitamente piccolo.

[modifica] Esempio

Una macchina parte da ferma e percorre 50 metri in 3 secondi. Qual'è la sua accelerazione (media)?
\mathbf{a}= \frac{\Delta_v}{\Delta_t} = \frac{\frac{x_2-0}{t_2-0}-v_0}{t_2-0} = \frac{x_2}{t_2}\frac{1}{t_2} = \frac{50}{3}\frac{1}{3} = \frac{50}{9} \approx 5.56\frac{{\rm m}}{{\rm s}^2}

Una buona accelerazione!

[modifica] Equazioni della cinematica per moto ad accelerazione costante

Ora che conosciamo tutte i tasselli fondamentali che costituiscono la cinematica monodimensionale, vediamo ora alcune equazioni che si riveleranno estremamente utili per ottenere velocità, distanza, intervalli ed accelerazione in base alle grandezze note nei nostri problemi.

Trattiamo ora il caso in cui l'accelerazione di un oggetto sia costante (o pressoché tale); questo tipo di moto prende il nome di moto uniformemente accelerato ed è assai diffuso anche in situazione pratiche. Per semplicità di notazione, assumeremo il tempo iniziale t1 = 0 e dunque t2 = t, la velocità e posizione iniziale saranno rappresentati da v0 e x0. La generica velocità o distanza al tempo t sarà chiamata x o v.

L'accelerazione media sappiamo essere \mathbf{a}=\frac{\Delta_v}{\Delta_t}, ovvero nel nostro caso generico \mathbf{a}=\frac{v-v_0}{t}. Da questa equazione possiamo facilmente ottenere la velocità se sono noti tempo e accelerazione, infatti:

\mathbf{a}=\frac{v-v_0}{t} \rightarrow \mathbf{a}t=v-v_0 \rightarrow
v=\mathbf{a}t+v_0

Ricaviamo ora la posizione di un oggetto al tempo t. Abbiamo che

...

Riassumiamo le quattro equazioni della cinematica per moti unidimensionali.

v=v_0+\mathbf{a}t
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}\mathbf{a}t^2
v^2=v_0^2 +2\mathbf{a}(x-x_0)
\mathbf{v}=\frac{v+v_0}{2}

[modifica] Gravità terrestre

Tutti gli oggetti che si muovono lungo la linea verticale alla superficie terrestre (a prescindere dalla loro direzione) sono soggetti ad un'accelerazione costante verso il basso. Questa accelerazione è chiamata gravità ed il suo modulo è approssimativamente

g=9.8\frac{{\rm m}}{{\rm s}^2}

trascurando la resistenza dell'aria.

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