Basi di spazi vettoriali

Base di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $V\,$, si dice che l'insieme di vettori ${\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$ è una base di $V\,$ se e solo se

1. $v_{1},\dots ,v_{n}\,$ sono linearmente indipendenti
2. $v_{1},\dots ,v_{n}\,$ generano il sottospazio $V\,$, cioè $V={\mathcal {L}}(v_{1},\dots ,v_{n})$.

Il concetto di base unisce i concetti precedentemente introdotti di indipendenza lineare e di generatori di uno spazio vettoriale.

La nozione di base di uno spazio vettoriale (o analogamente di un sottospazio) è fondamentale nelle caratterizzazioni successive di spazi vettoriali, in primis perché permette la definizione di uno degli invarianti più importanti in algebra lineare e cioè la dimensione.

Dalla definizione segue la seguente osservazione:

Siano $v_{1},\dots ,v_{n}$ vettori linearmente indipendenti di $V$. Supponiamo che

$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},\mu _{1},\dots ,\mu _{n}\in \mathbb {R}$ tali che

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}v_{i}$.

Allora si ha che $\lambda _{i}=\mu _{i}$ con $1\leq i\leq n$.

Dimostrazione

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}v_{i}$ si può riscrivere come $\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\mu _{i})v_{i}=0$. Essendo per ipotesi i $v_{i}$ linearmente indipendenti, i coefficienti $(\lambda _{i}-\mu _{i})$ devono essere per forza tutti nulli, quindi $\lambda _{i}=\mu _{i}$.

$\Box$

Si può dimostrare poi che ogni spazio vettoriale possiede una base, applicando il lemma di Zorn all'insieme di tutti gli insiemi di vettori indipendenti dello spazio con l'inclusione come ordine parziale.

Esistenza delle basi

Definizione: Sia $A\subseteq V$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$. Si dice che ${\mathcal {B}}\subseteq V$ è un sottoinsieme massimale in $A$ di vettori linearmente indipendenti se e solo se

1. tutti gli elementi di ${\mathcal {B}}$ sono vettori linearmente indipendenti;
2. aggiungendo a ${\mathcal {B}}$ un qualunque altro vettore di $A$ si ottiene un insieme di vettori linearmente dipendenti.

Proposizione

Sia ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ una base di uno spazio vettoriale $V$. Allora ${\mathcal {B}}$ è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti in $V$.

Dimostrazione

Per ipotesi i vettori $v_{1},\dots ,v_{n}$ sono linearmente indipendenti. Dimostriamo allora che aggiunto qualsiasi altro vettore $v\in V\neq 0$ a ${\mathcal {B}}$ otteniamo un insieme di vettori linearmente dipendenti. Ma sappiamo che ogni vettore di $V$ è generato dai $v_{1},\dots ,v_{n}$, essendo $V={\mathcal {L}}(v_{1},\dots ,v_{n})$, quindi

$v=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{1}$ ma

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{1}-v=0$

ed è una relazione di dipendenza lineare, visto il vettore nullo è dato da una combinazione lineare di vettori con coefficienti non tutti nulli (il coefficiente di $v$ è -1).

$\Box$

Lemma

Vediamo ora un lemma che ci serve per dimostrare un significativo teorema.

Sia ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{r}\}$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$ e supponiamo che ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ contenga un sistema di generatori di $V$. Allora

$V={\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$

cioè anche ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{r}\}$ genera $V$.

Dimostrazione

Sia ${\mathcal {A}}$ un sistema di generatori di $V$ contenuto in ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$. Possiamo dunque scrivere $v\in V$ come combinazione lineare dei vettori di ${\mathcal {A}}$ e siccome ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$, possiamo scrivere gli elementi di ${\mathcal {A}}$ come combinazione di elementi di ${\mathcal {B}}$ e di conseguenza, possiamo scrivere ogni elemento di $V$ come combinazione di elementi di ${\mathcal {B}}$. Dunque $V={\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$.

$\Box$

Teorema

Sia ${\mathcal {A}}=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ un sistema di generatori di uno spazio $V$. Sia ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$ un sottoinsieme massimale in ${\mathcal {A}}$ di vettori linearmente indipendenti.

Allora ${\mathcal {B}}$ è una base di $V$.

Dimostrazione

Esplicitiamo ${\mathcal {B}}$ come ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{k}\},k\leq n$.

Per ipotesi, i vettori di ${\mathcal {B}}$ sono linearmente indipendenti, dunque per dimostrare che ${\mathcal {B}}$ è una base di $V$ dobbiamo solo mostrare che essi generano $V$ e possiamo farlo grazie al Lemma precedente.

Preso $u\in {\mathcal {A}}\setminus \{{\mathcal {B}}\}$, per l'ipotesi di massimalità assunta, $v_{1},\dots ,v_{k},u$ formano un insieme di vettori linearmente dipendenti. Dunque

$\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}+\mu u=0$

$\mu$ dev'essere per forza non nullo, altrimenti avremmo scritto una relazione di dipendenza lineare di vettori che sappiamo essere linearmente indipendenti per ipotesi. Allora

$u=\sum _{i=1}^{k}-{\frac {\lambda _{i}}{\mu }}v_{i}$

Dunque $u\in {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ ed essendo $u$ generico elemento di ${\mathcal {A}}$ non appartenente a ${\mathcal {B}}$, abbiamo per il lemma precedente che ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ e dunque ${\mathcal {B}}$ genera $V$ ed essendone anche gli elementi linearmente indipendenti, è una base di $V$.

Corollario

Ogni spazio vettoriale contenente un sistema finito di generatori ammette una base.

Metodi per trovare una base

Studiamo ora dei metodi operativi per trovare una base di uno spazio vettoriale.

Metodo degli scarti

È un metodo abbastanza semplice per trovare una base da un insieme di generatori $v_{1},\dots ,v_{n}$ eliminando o tenendo elementi ed essendo algoritmico, si presta bene anche per essere implementato in un calcolatore. Esso consiste nei seguenti passaggi:

1. se $v_{1}$ è il vettore nullo lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
2. se $v_{2}$ è proporzionale a $v_{1}$ lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
3. se $v_{i},3\leq i\leq n$ è combinazione lineare dei precedenti vettori tenuti lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
4. così fino alla fine.

L'insieme di vettori che ci resta è un insieme di vettori linearmente indipendenti, quindi è una base di $V$.

Teorema del Completamento o Teorema di Steinitz

Sia V(K) uno spazio vettoriale e sia ${\mathcal {B}}=\{e_{1},...,e_{n}\}$ una sua base finita. Se ${\mathcal {A}}=\{v_{1},...,v_{p}\}$ è un insieme di ${\mathcal {p}}$ (con ${\mathcal {p}}<{\mathcal {n}}$) vettori linearmente indipendenti, allora è possibile formare una nuova base aggiungendo ai vettori di A n-p vettori di B opportunamente scelti.

Dimensione di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $V\,$ si definisce dimensione dello spazio $V\,$ la cardinalità di una base di $V\,$.

Mostriamo ora che la dimensione è effettivamente un invariante per gli spazi vettoriali e non dipende quindi dalla scelta della base. Vale infatti il seguente

Teorema

Date ${\mathcal {B}}_{1},{\mathcal {B}}_{2}\,$ due basi di uno spazio vettoriale $V\,$ con un sistema finito di generatori. Allora $\vert {\mathcal {B}}_{1}\vert =\vert {\mathcal {B}}_{2}\vert$.

Dimostrazione

Sia ${\mathcal {B}}_{1}=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}\,$ e ${\mathcal {B}}_{2}=\{w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}\}\,$. Vogliamo mostrare che $n=m\,$; supponiamo dunque per assurdo che sia $n<m\,$. Per definizione di base sappiamo che ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}}_{1})=V\,$, in particolare ogni vettore di ${\mathcal {B}}_{2}$ può essere scritto come combinazione lineari dei vettori di ${\mathcal {B}}_{1}$. Siano dunque

$w_{1}=\alpha _{1,1}v_{1}+\dots +\alpha _{1,n}v_{n}$

$w_{2}=\alpha _{2,1}v_{1}+\dots +\alpha _{2,n}v_{n}$

$\quad$

$\quad$

$w_{m}=\alpha _{m,1}v_{1}+\dots +\alpha _{m,n}v_{n}$

Mostriamo ora che se ciò accade i vettori $w_{1},\dots ,w_{n}\,$ non possono essere linearmente indipendenti.

Infatti, detta $A=(\alpha _{ij})\,$ la matrice $m\times n\,$ formata dai coefficienti $\alpha _{i,j}\,$, si ha che il sistema

${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{pmatrix}}A{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=0$

è un sistema sovradimensionato (ci sono cioè più incognite, $m\,$, che equazioni, $n\,$) ed ammette quindi soluzioni non banali.

Esistono cioè $y_{1},\dots ,y_{m}\in \mathbb {K} \,$ non tutti nulli tali che $\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}=0$ il che è assurdo perché per ipotesi ${\mathcal {B}}_{2}\,$ è una base e quindi un insieme di vettori linearmente indipendenti. $\Box$

Dal teorema precedente segue immediatamente che la dimensione di uno spazio vettoriale non dipende dalla particolare scelta della base.

Esempi

• Lo spazio vettoriale $\mathbb {R} ^{3}$ ha dimensione 3, infatti i vettori ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ formano una base per l'intero spazio.
• Più in generale si può dimostrare che $\forall n\in \mathbb {N}$ lo spazio $\mathbb {R} ^{n}$ ha dimensione $n\,$. Questo mostra in maniera informale come la nozione precedentemente introdotta di dimensione è in accordo con la nozione intuitiva di dimensione che deriva dall'esperienza.
• Lo spazio vettoriale $\mathbb {C}$ su campo $\mathbb {C}$ ha dimensione 1, mentre come spazio vettoriale su $\mathbb {R}$ ha dimensione 2. Questo esempio mostra come la dimensione dipenda dal campo su cui è costruito lo spazio vettoriale.
• Analogamente al caso reale, la dimensione di $\mathbb {C} ^{n}$ (come spazio vettoriale su $\mathbb {C} \,$) è $n\,$.

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Formula di Grassmann

Siano U e W sottospazi di dimensione finita dello spazio vettoriale V. Risulta

$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)$

Somma diretta

Nel caso in cui, per ogni v di U + W esiste un’unica coppia di vettori u di U e w di W tali che v=u+w, allora diciamo che la somma U + W è diretta e scriviamo U⊕W.

Teorema

La somma U+W è diretta se e solo se U∩W ={0}.

Dimostrazione

⇒ Se v ∈ U ∩ W fosse un vettore non nullo, allora la somma non sarebbe diretta perché v= v+0= 0+v, cioè v= v+0 con v∈U, 0∈W e v = 0 + v con 0 ∈ U, v ∈ W .

⇐ Scrivendo v= u1+w1= u2+w2 con u1, u2∈ U e w1, w2∈ W, si ricava che il vettore u1 − u2 = w2 − w1 è nell’intersezione U ∩ W ;

dunque, se U∩W ={0}, risulta u1=u2 e w2=w1, cioè la somma è diretta.