Basi di spazi vettoriali

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Avanzamento lezione: 75% al 26-11-2009.

Materia:Algebra Lineare > Basi di spazi vettoriali

[modifica] Base di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $V\,$ , si dice che l'insieme di vettori $\mathcal{B}=\{ v_1,v_2,\dots,v_n \}$ è una base di $V\,$ se e solo se

$v_1,\dots,v_n\,$ sono linearmente indipendenti
$v_1,\dots,v_n\,$ generano il sottospazio $V\,$ , cioè $V = \mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)$ .

Il concetto di base unisce i concetti precedentemente introdotti di indipendenza lineare e di generatori di uno spazio vettoriale.

La nozione di base di uno spazio vettoriale (o analogamente di un sottospazio) è fondamentale nelle caratterizzazioni successive di spazi vettoriali, in primis perché permette la definizione di uno degli invarianti più importanti in algebra lineare e cioè la dimensione.

Dalla definizione segue la seguente osservazione:

Siano $v_1,\dots,v_n$ vettori linearmente indipendenti di $V$ . Supponiamo che

$\lambda_1,\dots,\lambda_n,\mu_1,\dots,\mu_n \in \mathbb{R}$ tali che

$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i v_i = \sum_{i=1}^{n}\mu_i v_i$ .

Allora si ha che $λ i = μ i$ con $1\leq i \leq n$ .

[modifica] Dimostrazione

$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i v_i = \sum_{i=1}^{n}\mu_i v_i$ si può riscrivere come $\sum_{i=1}^{n}(\lambda_i - \mu_i) v_i =0$ . Essendo per ipotesi i $v i$ linearmente indipendenti, i coefficienti $(λ i - μ i)$ devono essere per forza tutti nulli, quindi $λ i = μ i$ .

$\Box$

Si può dimostrare poi che ogni spazio vettoriale possiede una base, applicando il lemma di Zorn all'insieme di tutti gli insiemi di vettori indipendenti dello spazio con l'inclusione come ordine parziale.

[modifica] Esistenza delle basi

Definizione: Sia $A \subseteq V$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$ . Si dice che $\mathcal{B} \subseteq V$ è un sottoinsieme massimale in $A$ di vettori linearmente indipendenti se e solo se

tutti gli elementi di $\mathcal{B}$ sono vettori linearmente indipendenti;
aggiungendo a $\mathcal{B}$ un qualunque altro vettori di $A$ si ottiene un insieme di vettori linearmente dipendenti.

[modifica] Proposizione

Sia $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n \}$ una base di uno spazio vettoriale

V

. Allora $\mathcal{B}$ è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti in

V

.

[modifica] Dimostrazione

Per ipotesi i vettori $v_1,\dots,v_n$ sono linearmente indipendenti. Dimostriamo allora che aggiunto qualsiasi altro vettore $v \in V \neq 0$ a $\mathcal{B}$ otteniamo un insieme di vettori linearmente dipendenti. Ma sappiamo che ogni vettore di $V$ è generato dai $v_1,\dots,v_n$ , essendo $V=\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)$ , quindi

$v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_1$ ma

$\sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_1 - v = 0$

ed è una relazione di dipendenza lineare, visto il vettore nullo è dato da una combinazione lineare di vettori con coefficienti non tutti nulli (il coefficiente di $v$ è -1).

$\Box$

[modifica] Lemma

Vediamo ora un lemma che ci serve per dimostrare un significativo teorema.

Sia $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_r \}$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$ e supponiamo che $\mathcal{L}(\mathcal{B})$ contenga un sistema di generatori di $V$ . Allora

$V=\mathcal{L}(\mathcal{B})$

cioè anche $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_r \}$ genera $V$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $\mathcal{A}$ un sistema di generatori di $V$ contenuto in $\mathcal{L}(\mathcal{B})$ . Possiamo dunque scrivere $v \in V$ come combinazione lineare dei vettori di $\mathcal{A}$ e siccome $\mathcal{A} \subset \mathcal{L}(\mathcal{B})$ , possiamo scrivere gli elementi di $\mathcal{A}$ come combinazione di elementi di $\mathcal{B}$ e di conseguenza, possiamo scrivere ogni elemento di $V$ come combinazione di elementi di $\mathcal{B}$ . Dunque $V=\mathcal{L}(\mathcal{B})$ .

$\Box$

[modifica] Teorema

Sia $\mathcal{A}=\{v_1,\dots,v_n\}$ un sistema di generatori di uno spazio $V$ . Sia $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ un sottoinsieme massimale in $\mathcal{A}$ di vettori linearmente indipendenti.

Allora $\mathcal{B}$ è una base di $V$ .

[modifica] Dimostrazione

Esplicitiamo $\mathcal{B}$ come $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_k \}, k\leq n$ .
Essendo per ipotesi i vettori di $\mathcal{B}$ sono linearmente indipendenti, dunque per dimostrare che $\mathcal{B}$ è una base di $V$ dobbiamo solo mostrare che essi generano $V$ e possiamo farlo grazie al Lemma precedente.

Sia $u \in \mathcal{A} \setminus \{\mathcal{B}\}$ e per l'ipotesi di massimalità di $v_1,\dots,v_k$ , $v_1,\dots,v_k ,u$ è un insieme di vettori linearmente dipendenti. Dunque

$\sum_{i=1}^k \lambda_i v_i + \mu u = 0$

$μ$ dev'essere per forza non nullo, altrimenti avremmo scritto una relazione di dipendenza lineare di vettori che sappiamo essere linearmente indipendenti per ipotesi. Allora

$w=\sum_{i=1}^k-\frac{1}{\mu}v_i$

Dunque $w \in \mathcal{L}(\mathcal{B})$ ed essendo $w$ generico elemento di $\mathcal{A}$ non appartenente a $\mathcal{B}$ , abbiamo per il lemma precedente che $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{L}(\mathcal{B}$ e dunque $\mathcal{B}$ genera $V$ ed essendone anche gli elementi linearmente indipendenti, è una base di $V$ .

[modifica] Corollario

Ogni spazio vettoriale contenente un sistema finito di generatori ammette una base.

[modifica] Metodi per trovare una base

Studiamo ora dei metodi operativi per trovare una base di uno spazio vettoriale.

[modifica] Metodo degli scarti

È un metodo abbastanza semplice per trovare una base da un insieme di generatori $v_1,\dots,v_n$ eliminando o tenendo elementi ed essendo algoritmico, si presta bene anche per essere implementato in un calcolatore. Esso consiste nei seguenti passaggi:

se $v 1$ è il vettore nullo lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
se $v 2$ è proporzionale a $v 1$ lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
se $v_i,3 \leq i \leq n$ è combinazione lineare dei precedenti vettori tenuti lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
così fino alla fine.

L'insieme di vettori che ci resta è un insieme di vettori linearmente indipendenti, quindi è una base di $V$ .

[modifica] Teorema del Completamento

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Dimensione di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $V\,$ si definisce dimensione dello spazio $V\,$ la cardinalità di una base di $V\,$ .

Mostriamo ora che la dimensione è effettivamente un invariante per gli spazi vettoriali e non dipende quindi dalla scelta della base. Vale infatti il seguente

[modifica] Teorema

Date $\mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2\,$ due basi di uno spazio vettoriale $V\,$ con un sistema finito di generatori. Allora $\vert \mathcal{B}_1\vert = \vert \mathcal{B}_2 \vert$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $\mathcal{B}_1= \{v_1,v_2,\dots,v_n\}\,$ e $\mathcal{B}_2= \{w_1,w_2,\dots,w_n \} \,$ . Vogliamo mostrare che $n=m\,$ ; supponiamo dunque per assurdo che sia $n < m\,$ . Per definizione di base sappiamo che $\mathcal{L}(\mathcal{B}_1)=V\,$ , in particolare ogni vettore di $\mathcal{B}_2$ può essere scritto come combinazione lineari dei vettori di $\mathcal{B}_1$ . Siano dunque

$w_1=\alpha_{1,1}v_1 + \dots + \alpha_{1,n}v_n$
$w_2=\alpha_{2,1}v_1 + \dots + \alpha_{2,n}v_n$
$\quad$
$\quad$
$w_m=\alpha_{m,1}v_1 + \dots + \alpha_{m,n}v_n$

Mostriamo ora che se ciò accade i vettori $w_1,\dots,w_n\,$ non possono essere linearmente indipendenti.

Infatti, detta $A = (\alpha_{ij})\,$ la matrice $m \times n\,$ formata dai coefficienti $\alpha_{i,j}\,$ , si ha che il sistema

$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_m \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = 0$

è un sistema sovradimensionato (ci sono cioè più incognite, $m\,$ , che equazioni, $n\,$ ) ed ammette quindi soluzioni non banali.

Esistono cioè $y_1,\dots,y_m \in \mathbb{K}\,$ non tutti nulli tali che $\sum_{j=1}^n y_j w_j = 0$ il che è assurdo perché per ipotesi $\mathcal{B}_2\,$ è una base e quindi un insieme di vettori linearmente indipendenti. $\Box$

Dal teorema precedente segue immediatamente che la dimensione di uno spazio vettoriale non dipende dalla particolare scelta della base.

[modifica] Esempi

Lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$ ha dimensione 3, infatti i vettori $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ formano una base per l'intero spazio.

Più in generale si può dimostrare che $\forall n \in \mathbb{N}$ lo spazio $\mathbb{R}^n$ ha dimensione $n\,$ . Questo mostra in maniera informale come la nozione precedentemente introdotta di dimensione è in accordo con la nozione intuitiva di dimensione che deriva dall'esperienza.

Lo spazio vettoriale $\mathbb{C}$ su campo $\mathbb{C}$ ha dimensione 1, mentre come spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ ha dimensione 2. Questo esempio mostra come la dimensione dipenda dal campo su cui è costruito lo spazio vettoriale.

Analogamente al caso reale, la dimensione di $\mathbb{C}^n$ (come spazio vettoriale su $\mathbb{C}\,$ ) è $n\,$ .

[modifica] Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

[modifica] Formula di Grassmann

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Somma diretta

Basi di spazi vettoriali

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Indice

[modifica] Base di uno spazio vettoriale

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Esistenza delle basi

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Lemma

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Corollario

[modifica] Metodi per trovare una base

[modifica] Metodo degli scarti

[modifica] Teorema del Completamento

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Dimensione di uno spazio vettoriale

[modifica] Teorema

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Esempi

[modifica] Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

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