Applicazioni lineari
|
Applicazioni lineari
|
|
| Tipo: lezione | |
| Materia: Algebra lineare | |
| Programma: [[{{{programma1}}}]] | |
| Programma: [[{{{programma2}}}]] | |
| Programma: [[{{{programma3}}}]] | |
| Programma: [[{{{programma4}}}]] | |
Indice |
Definizione [modifica]
Siano
e
-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.0
Si dice applicazione lineare da
a
un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:
È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se
Esempio [modifica]
verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.
Prendiamo allora un altro elemento di
. Verifichiamone le proprietà:
Dalla definizione, se
o
, abbiamo che
e da qui sappiamo sempre che
.
Isomorfismo tra
e
[modifica]
Sia
una base di
. La funzione
associa ad ogni vettore di
le sue coordinate rispetto alla base
.
Dimostrate per esercizio che
è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore
si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei
e viceversa ogni combinazione di
definisce un vettore di
. Dunque
è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante:
e
sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in
con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.
Esiste anche la funzione identità
che è un automorfismo.
Proposizioni sulle applicazioni lineari [modifica]
Sia
un'applicazione lineare,
un generico sottospazio vettoriale di
e
un generico sottospazio di
. Allora:
- l'immagine di un sottospazio (di
) è ancora un sottospazio (di
), cioè
-
;
, cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di
è ancora un sottospazio vettoriale di
;
è un omomorfismo.
Nucleo e immagine di
[modifica]
Si dice nucleo dell'applicazione lineare
il sottospazio
L'immagine di
è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con
.
Sia
un'applicazione lineare.
è:
- un monomorfismo
; - un epimorfismo

- I
-
è un monomorfismo e
. Allora
. Dunque l'unico elemento di
è
.
- Se
e
allora
. Dunque
e siccome per ipotesi l'unico elemento di
è
, implica che
dunque
e questo prova che
è iniettiva.
- II
-
epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che
. Dunque per definizione
.
- Se
, allora per ogni
, che è la definizione di suriettività.
Sia
un'applicazione lineare e
. Valgono allora le seguenti asserzioni:
- Se
, cioè
porta un insieme di generatori di
in un insieme di generatori di
; - Se
sono linearmente dipendenti allora lo sono anche
e se
sono linearmente indipendente lo sono anche i
;
monomorfismo e
linearmente indipendenti lo sono anche i
.
, quindi ogni vettore
è
. Dunque, ogni vettore
è
e per la proprietà di omomorfismo abbiamo
. Essendo
un generico vettore di
possiamo dedurre che tutti i vettori di
si possono scrivere come combinazioni lineari dei
quindi essi generano
.- Essendo linearmente indipendenti esistono dei
non tutti nulli tali che
. Dunque
sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli
sono non tutti nulli. Se invece i vettori
sono linearmente indipendenti, allora
. Segue che
, cioè i
si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i
linearmente indipendenti.
monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e
linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione,
e questo accade per il vettore nullo di
cioè quando gli
sono tutti nulli. Dunque
. Quindi sono linearmente indipendenti anche gli
.
Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni [modifica]
Sia
una base di
. Allora
genera
. Quindi se
è:
- un monomorfismo
è una base di
; - un epimorfismo
genera
; - un isomorfismo
è una base di
. - un isomorfismo

Sia
una base ordinata di
e
una
-upla di
.
Allora esiste una sola applicazione lineare
tale che
.
- (Esistenza)
porta i
in
, cioè
. Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare. - (unicità). Supponiamo che
e
siano due applicazioni lineari
, tali che
e
. Allora
Dunque
.
Se
gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi










;
, cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di
è un omomorfismo.
;
-
. Allora
. Dunque l'unico elemento di
è
.
- Se
e
allora
. Dunque
e siccome per ipotesi l'unico elemento di
dunque
e questo prova che
. Dunque per definizione
.
, che è la definizione di suriettività.
, cioè
sono linearmente dipendenti allora lo sono anche
e se
sono linearmente indipendente lo sono anche i
;
, quindi ogni vettore
è
. Dunque, ogni vettore
è
e per la proprietà di omomorfismo abbiamo
. Essendo
un generico vettore di
non tutti nulli tali che
. Dunque
sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli
sono non tutti nulli. Se invece i vettori
sono linearmente indipendenti, allora
. Segue che
, cioè i
si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i
linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della
. Quindi sono linearmente indipendenti anche gli
è una base di 
in
. Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
e
siano due applicazioni lineari
, tali che
. Allora
