Applicazioni lineari

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Indice


[modifica] Definizione

Siano V e W \mathbb{K}-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali che prendono il nome di applicazioni lineari.

Definizione: Applicazione lineare

Si dice applicazione lineare da V a W un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:

  • f(v+v^\prime)=f(v)+f(v^\prime),\forall v,v^\prime \in V
  • f(\lambda v) = \lambda f(v), \forall v \in V,\forall \lambda \in \mathbb{K}

È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se

f(\lambda v+\lambda^\prime v^\prime) = \lambda f(v) + \lambda^\prime f(v^\prime)

[modifica] Esempio

f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^4, (x,y) \to (2y,0,x+y,x-y) verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.

Prendiamo allora un altro elemento di \mathbb{R}^2 (x',y') \to (2y',0,x'+y',x'-y'). Verifichiamone le proprietà:

  • f\Big((x,y)+(x',y')\Big) = f\Big((x+x',y+y')\Big) = (2(y+y'),0,(x+x')+(y+y'),(x+x')-(y+y'))=
(2y,0,x + y,x − y) + (2y',0,x' + y',x' − y') = f((x,y)) + f((x',y'))
  • f(κ(x,y)) = f((κx,κy)) = (κ2y,κ0,κ(x + y),κ(x − y)) = κ(2y,0,x + y,x − y) = κf((x,y))

Dalla definizione, se λ = 0 o λ = − 1, abbiamo che

f(0v) = 0f(v) = 0
f(v − v') = f(0) = 0

e da qui sappiamo sempre che f(0) = 0.

[modifica] Isomorfismo tra V e \mathbb{K}^n

Sia \mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n) una base di V. La funzione

f_B:V\to \mathbb{K}^n,v\mapsto (k_1,\dots,k_n)

associa ad ogni vettore di V le sue coordinate rispetto alla base \mathcal{B}.

Dimostrate per esercizio che fB è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore v si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei (v_1,\dots,v_n) e viceversa ogni combinazione di (v_1,\dots,v_n) definisce un vettore di V. Dunque fB è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: V e \mathbb{K}^n sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in V con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.


Esiste anche la funzione identità

I_v : V\to V,v\mapsto v

che è un automorfismo.

[modifica] Proposizioni sulle applicazioni lineari

Sia f:V\to W un'applicazione lineare, S un generico sottospazio vettoriale di V e S' un generico sottospazio di W. Allora:

  1. l'immagine di un sottospazio (di V) è ancora un sottospazione (di W), cioè
f(S) = S';
  1. f − 1(S') = S, cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di W è ancora un sottospazio vettoriale di V;
  2. f|_S:S\to f(S) è un omomorfismo.

[modifica] Nucleo e immagine di f

Definizione: Nucleo

Si dice nucleo dell'applicazione lineare f il sottospazio

f^{-1}(0)=Ker(f)=\{v\in V \mid f(v)=0_W\}

L'immagine di f è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con Im(f).

Sia f:V\to W un'applicazione lineare. f è:

  1. un monomorfismo \Leftrightarrow Ker(f)=0;
  2. un epimorfismo \Leftrightarrow Im(f)=0
Dimostrazione: Proposizione
  1. I
    1. \Rightarrow) - f è un monomorfismo e v,v' \in Ker(f). Allora f(v+v')=0\Rightarrow f(v)+f(v')=0 \Rightarrow f(v-v')=0 \Rightarrow f(0)=0. Dunque l'unico elemento di Ker(f) è 0.
    2. \Leftarrow) - Se Ker(f) = 0 e f(v) = f(v') allora f(v) − f(v') = 0. Dunque f(v-v')=0\Rightarrow (v-v')\in Ker(f) e siccome per ipotesi l'unico elemento di Ker(f) è 0, implica che v − v' = 0 dunque v = v' e questo prova che f è iniettiva.
  2. II
    1. \Rightarrow) - f epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che \forall w\in W \exists v \in V \mid w=f(v). Dunque per definizione Im(f) = W.
    2. \Leftarrow) - Se Im(f) = W, allora per ogni w \in W \exists v \in V \mid w=f(v), che è la definizione di suriettività.

Sia f:V \to W un'applicazione lineare e v_i,i=1,\dots,n. Valgono allora le seguenti asserzioni:

  1. Se V=<v_i> \Rightarrow Im(f)=<f(v_i)> , cioè f porta un insieme di generatori di V in un insieme di generatori di Im(f);
  2. Se v_1,\dots,v_n sono linearmente dipendenti allora lo sono anche f(v_1),\dots,f(v_n) e se f(vi) sono linearmente indipendente lo sono anche i vi;
  3. f monomorfismo e v_1,\dots,v_n linearmente indipendenti lo sono anche i f(v_1),\dots,f(v_n).
Dimostrazione: Proposizione
  1. V = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i, quindi ogni vettore w \in V è u=\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i. Dunque, ogni vettore w \in W è w=f(\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i) e per la proprietà di omomorfismo abbiamo w = \sum_{i=1}^n (\alpha_i f(v_i)). Essendo w un generico vettore di W possiamo dedurre che tutti i vettori di W si possono scrivere come combinazioni lineari dei f(v_1),\dots,f(v_n) quindi essi generano W.
  2. Essendo linearmente indipendenti esistono dei \alpha_1,\dots,\alpha_n non tutti nulli tali che \sum_{i=1}^n\alpha_i v_i = 0. Dunque f\left( \sum_{i=1}^n\alpha_i v_i\right) = f(0) = \sum_{i=1}^n(\alpha_i f(v_i)) = 0 sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli αi sono non tutti nulli. Se invece i vettori f(v_i)\in W sono linearmente indipendenti, allora \sum_{i=1}^n\alpha_i f(v_i) =0 \Rightarrow \alpha_1=\dots=\alpha_n = 0. Segue che 0 = f\left( \sum_{i=1}^n (\alpha_i v_i ) \right) = f(0), cioè i \sum_{i=1}^n (\alpha_i v_i ) si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i vi linearmente indipendenti.
  3. f monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e v_1\dots,v_i linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione, Ker(f) = 0 e questo accade per il vettore nullo di V cioè quando gli \alpha_1,\dots,\alpha_n sono tutti nulli. Dunque f\left(\sum_{i=1}^n(\alpha_i v_i) \right) = \sum_{i=1}^n \left(\alpha_i f(v_i)\right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n \left(\alpha_i f(v_i)\right) \in Ker(f) \Leftrightarrow \alpha_1=\dots=\alpha_n = 0. Quindi sono linearmente indipendenti anche gli f(v_i) \in W.

[modifica] Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni

Sia \mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n\} una base di V. Allora f(\mathcal{B}=\{f(v_1),\dots,f(v_n)\}) genera Im(f). Quindi se f è:

  • un monomorfismo \Rightarrow f(\mathcal{B}) è una base di Im(f);
  • un epimorfismo \Rightarrow f(\mathcal{B}) genera W;
  • un isomorfismo \Rightarrow f(\mathcal{B}) è una base di W.
  • un isomorfismo \Rightarrow \dim V = \dim W
Teorema: Unicità dell'appliczione lineare

Sia \mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n) una base ordinata di V e (w_1,\dots,w_n) una n-upla di W.

Allora esiste una sola applicazione lineare f:V\to W tale che f(vi) = wi.

Dimostrazione: Teorema dell'unicità dell'applicazione lineare
  • (Esistenza) f porta i v \in V in w \in W, cioè \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \mapsto \sum_{i=1}^n \beta_i w_i. Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
  • (unicità). Supponiamo che f(v) e g(v) siano due applicazioni lineari V\to W, tali che f(vi) = wi e g(vi) = wi. Allora
w=g(v) = g \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i g(v_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i w_i
w=f(v) = f \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i f(v_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i w_i

Dunque f = g.


Se dimV = dimW gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi

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