Applicazioni lineari

Applicazioni lineari
	Tipo: lezione
	Materia: Algebra lineare
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Avanzamento lezione: 75% al 22-05-2013.

Definizione

Siano $V$ e $W$ $\mathbb{K}$-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.0

Definizione: Applicazione lineare

Si dice applicazione lineare da $V$ a $W$ un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:

• $f(v+v^\prime)=f(v)+f(v^\prime),\forall v,v^\prime \in V$
• $f(\lambda v) = \lambda f(v), \forall v \in V,\forall \lambda \in \mathbb{K}$

È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se

$f(\lambda v+\lambda^\prime v^\prime) = \lambda f(v) + \lambda^\prime f(v^\prime)$

Esempio

$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^4, (x,y) \to (2y,0,x+y,x-y)$ verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.

Prendiamo allora un altro elemento di $\mathbb{R}^2$ $(x',y') \to (2y',0,x'+y',x'-y')$. Verifichiamone le proprietà:

• $f\Big((x,y)+(x',y')\Big) = f\Big((x+x',y+y')\Big) = (2(y+y'),0,(x+x')+(y+y'),(x+x')-(y+y'))=$

$(2y,0,x+y,x-y)+(2y',0,x'+y',x'-y') = f((x,y)) + f((x',y'))$

• $f(\kappa (x,y)) = f((\kappa x,\kappa y)) = (\kappa 2y,\kappa 0,\kappa (x+y),\kappa (x-y)) = \kappa (2y,0,x+y,x-y) = \kappa f((x,y))$

Dalla definizione, se $\lambda =0$ o $\lambda = -1$, abbiamo che

$f(0v)= 0f(v) = 0$

$f(v-v')=f(0)=0$

e da qui sappiamo sempre che $f(0)=0$.

Isomorfismo tra $V$ e $\mathbb{K}^n$

Sia $\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n)$ una base di $V$. La funzione

$f_B:V\to \mathbb{K}^n,v\mapsto (k_1,\dots,k_n)$

associa ad ogni vettore di $V$ le sue coordinate rispetto alla base $\mathcal{B}$.

Dimostrate per esercizio che $f_B$ è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore $v$ si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei $(v_1,\dots,v_n)$ e viceversa ogni combinazione di $(v_1,\dots,v_n)$ definisce un vettore di $V$. Dunque $f_B$ è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: $V$ e $\mathbb{K}^n$ sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in $V$ con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.

Esiste anche la funzione identità

$I_v : V\to V,v\mapsto v$

che è un automorfismo.

Proposizioni sulle applicazioni lineari

Proposizione:

Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare, $S$ un generico sottospazio vettoriale di $V$ e $S'$ un generico sottospazio di $W$. Allora:

1. l'immagine di un sottospazio (di $V$) è ancora un sottospazio (di $W$), cioè

$f(S)=S'$;

1. $f^{-1}(S')=S$, cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di $W$ è ancora un sottospazio vettoriale di $V$;
2. $f|_S:S\to f(S)$ è un omomorfismo.

Nucleo e immagine di $f$

Definizione: Nucleo

Si dice nucleo dell'applicazione lineare $f$ il sottospazio

$f^{-1}(0)=Ker(f)=\{v\in V \mid f(v)=0_W\}$

L'immagine di $f$ è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con $Im(f)$.

Proposizione:

Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare. $f$ è:

1. un monomorfismo $\Leftrightarrow Ker(f)=0$;
2. un epimorfismo $\Leftrightarrow Im(f)=W$

Dimostrazione: Proposizione

1. I
   1. $\Rightarrow)$ - $f$ è un monomorfismo e $v,v' \in Ker(f)$. Allora $f(v+v')=0\Rightarrow f(v)+f(v')=0 \Rightarrow f(v-v')=0 \Rightarrow f(0)=0$. Dunque l'unico elemento di $Ker(f)$ è $0$.
   2. $\Leftarrow)$ - Se $Ker(f)=0$ e $f(v)=f(v')$ allora $f(v)-f(v')=0$. Dunque $f(v-v')=0\Rightarrow (v-v')\in Ker(f)$ e siccome per ipotesi l'unico elemento di $Ker(f)$ è $0$, implica che $v-v'=0$ dunque $v=v'$ e questo prova che $f$ è iniettiva.
2. II
   1. $\Rightarrow)$ - $f$ epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che $\forall w\in W \exists v \in V \mid w=f(v)$. Dunque per definizione $Im(f)=W$.
   2. $\Leftarrow)$ - Se $Im(f)=W$, allora per ogni $w \in W \exists v \in V \mid w=f(v)$, che è la definizione di suriettività.

Proposizione:

Sia $f:V \to W$ un'applicazione lineare e $v_i,i=1,\dots,n$. Valgono allora le seguenti asserzioni:

1. Se $V=<v_i> \Rightarrow Im(f)=<f(v_i)>$, cioè $f$ porta un insieme di generatori di $V$ in un insieme di generatori di $Im(f)$;
2. Se $v_1,\dots,v_n$ sono linearmente dipendenti allora lo sono anche $f(v_1),\dots,f(v_n)$ e se $f(v_i)$ sono linearmente indipendente lo sono anche i $v_i$;
3. $f$ monomorfismo e $v_1,\dots,v_n$ linearmente indipendenti lo sono anche i $f(v_1),\dots,f(v_n)$.

Dimostrazione: Proposizione

1. $V = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i$, quindi ogni vettore $u \in V$ è $u=\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i$. Dunque, ogni vettore $w \in W$ è $w=f(\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i)$ e per la proprietà di omomorfismo abbiamo $w = \sum_{i=1}^n (\alpha_i f(v_i))$. Essendo $w$ un generico vettore di $W$ possiamo dedurre che tutti i vettori di $W$ si possono scrivere come combinazioni lineari dei $f(v_1),\dots,f(v_n)$ quindi essi generano $W$.
2. Essendo linearmente indipendenti esistono dei $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ non tutti nulli tali che $\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i = 0$. Dunque $f\left( \sum_{i=1}^n\alpha_i v_i\right) = f(0) = \sum_{i=1}^n(\alpha_i f(v_i)) = 0$ sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli $\alpha_i$ sono non tutti nulli. Se invece i vettori $f(v_i)\in W$ sono linearmente indipendenti, allora $\sum_{i=1}^n\alpha_i f(v_i) =0 \Rightarrow \alpha_1=\dots=\alpha_n = 0$. Segue che $0 = f\left( \sum_{i=1}^n (\alpha_i v_i ) \right) = f(0)$, cioè i $\sum_{i=1}^n (\alpha_i v_i )$ si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i $v_i$ linearmente indipendenti.
3. $f$ monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e $v_1\dots,v_i$ linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione, $Ker(f)=0$ e questo accade per il vettore nullo di $V$ cioè quando gli $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ sono tutti nulli. Dunque $f\left(\sum_{i=1}^n(\alpha_i v_i) \right) = \sum_{i=1}^n \left(\alpha_i f(v_i)\right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n \left(\alpha_i f(v_i)\right) \in Ker(f) \Leftrightarrow \alpha_1=\dots=\alpha_n = 0$. Quindi sono linearmente indipendenti anche gli $f(v_i) \in W$.

Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni

Corollario:

Sia $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n\}$ una base di $V$. Allora $f(\mathcal{B}=\{f(v_1),\dots,f(v_n)\})$ genera $Im(f)$. Quindi se $f$ è:

• un monomorfismo $\Rightarrow f(\mathcal{B})$ è una base di $Im(f)$;
• un epimorfismo $\Rightarrow f(\mathcal{B})$ genera $W$;
• un isomorfismo $\Rightarrow f(\mathcal{B})$ è una base di $W$.
• un isomorfismo $\Rightarrow \dim V = \dim W$

Teorema: Unicità dell'applicazione lineare

Sia $\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n)$ una base ordinata di $V$ e $(w_1,\dots,w_n)$ una $n$-upla di $W$.

Allora esiste una sola applicazione lineare $f:V\to W$ tale che $f(v_i)=w_i$.

Dimostrazione: Teorema dell'unicità dell'applicazione lineare

• (Esistenza) $f$ porta i $v \in V$ in $w \in W$, cioè $\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \mapsto \sum_{i=1}^n \beta_i w_i$. Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
• (unicità). Supponiamo che $f(v)$ e $g(v)$ siano due applicazioni lineari $V\to W$, tali che $f(v_i)=w_i$ e $g(v_i)=w_i$. Allora

$w=g(v) = g \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i g(v_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i w_i$

$w=f(v) = f \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i f(v_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i w_i$

Dunque $f=g$.

Corollario:

Se $\dim V = \dim W$ gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi