Analisi del comportamento dei rivelatori d'energia sul rumore

Nell'impiego del rivelatore d'energia per la scoperta di segnali idrofonici si deve considerare che, sia questi, sia il rumore ambiente, provocano all'uscita del dispositivo gli stessi tipi contributi di potenza non differenziabili facilmente; scopo di questo studio è l'analisi degli effetti del rumore ambiente.

Analisi di un rivelatore d'energia con disturbo all'ingresso

Il disturbo e la curva di Gauss

Nella rivelazione d'energia quando all'ingresso del rivelatore a guadagno $K$ il rumore d'ingresso in banda $\Delta f\ \ \ \$ è $Vni=1\ Veff.$ all'uscita $U$, dopo l'integratore, si ha:

• una componente continua di ampiezza $N$ (potenza del rumore) $N=K\cdot Vni/0.4$
• una componente alternata, sovrapposta ad $N$, di valore efficace (deviazione standard) $\delta n=K\cdot Vni/{\sqrt {(4\ RC\ \Delta f)}}$

dove $RC$ è la costante di tempo dell'integratore.

Se ad esempio assumiamo:

$K=1\$

$Vni=1\ Veff.$

$RC=1\ s$

$\Delta f=4000\ Hz\ \ \$ abbiamo:

$N=2.5\ Vcc$

$\delta n=1/{\sqrt {(4\cdot 1\cdot \ 4000)}}=8\ mVeff$

Il valore efficace della varianza $\delta n$ presenta dei picchi che oscillano in modo casuale.

Supponiamo ora che, conoscendo a priori il livello della componente del disturbo $N=2.5\ Vcc,\ \ \$ si tenti di compensarla e che tale compensazione possa essere fatta, all'uscita dell'integratore, con un errore dell'ordine del $10$% il livello della componente del disturbo compensata sarà : $0.1\ N=0.25\ Vcc$

Il livello della componente continua potrà variare attorno a $0.1\ N$ secondo i picchi della varianza $\delta n=8\ mVeff$.

Da un punto di vista statistico il comportamento del rumore dopo compensazione è illustrato in figura 1:

la curva mostra che valori superiori od inferiori a $0.1\ N,$ dovuti alla variabilità di $\delta n$ hanno una probabilità di verificarsi decrescente secondo l'andamento della curva di Gauss.

Il criterio della soglia nella scoperta sonar

Se consideriamo il rivelatore d'energia sopra menzionato come parte integrante di un sonar passivo dal quale ci si aspetta la scoperta di segnali emessi da semoventi il livello d'uscita $U$, in presenza del solo disturbo d'ingresso $Vni$, non deve allertare l'operatore al sonar al di sopra di una certa probabilità di falso allarme $Pfa$ stabilita a priori.

Fissare una percentuale di probabilita di falso allarme, ad esempio $Pfa=5$%, significa interdire l'uscita $U$ del rivelatore con una soglia $T$ quando la varianza del disturbo supera il $5$% del tempo.

I picchi della varianza e la soglia

Per la ricerca della percentuala dei valori di $0.1\ N+\delta \ n$ che possono creare falsi allarmi si deve fare ancora riferimento alla figura 1 ponendovi il limite di soglia di rivelazione T e la variabile $Pfa$ relativa alla probabilità di falso allarme accettato; la soglia và fissata, generalmente, in modo che la probabilità di falso allarme nel caso peggiore sia $Pfa\leq 10$ %.

Le condizioni statistiche relative alla nuova impostazione delle variabili sono illustrate in figura 2:

Nella figura si vede che il rumore dal lato più sfavorevole ha una densità di probabilità centrata attorno a $0.1\ N$ e la soglia $T$ va posta nella posizione ( la più spostata a destra ) tale che l'area a destra della soglia stessa sia il $10$%

Per la determinazione del valore della soglia $T$ si procede alla ricerca dei legami tra le diverse variabili:

indicando con $q$ la differenza tra il livello di $T\ e\ (0.1\ N+\delta \ n)$ normalizzata su $\delta \ n$ si ha:

$q=[T-(0.1\ N+\delta \ n)]/\delta \ n$

Si ricorre ora alla formula classica che lega la $P(fa)\ a\ q$ secondo la funzione riportata su Lezione 2^ della materia Sistemi di calcolo automatico per il sonar :

$p(FA)=\left({\frac {1}{2}}\right)\left\{1-erf\left({\frac {q}{\sqrt {2}}}\right)\right\}$

risolvibile velocemente in $q$ per $P(fa)=10\%$ mediante la sezione 1) del calcolatore di che indica per $P(fa)=10\%\ ;q=1.29.$

con questo valore di $q$ e l'equazione:

$1.29=[T-(0.1\ N+\delta \ n)]/\delta \ n$ ; si calcola il valore di $T$:

$T=1.29\ \delta n+(0.1\ N+\delta \ n)$

ponendo per $\delta \ n$ il valore calcolato all'inizio $\delta \ n=8\ mV$ si ha:

$T\approx \ 0.27\ V.$

Con questo valore di soglia e con una compensazione entro $0.1\ N$ la probabilità di falso allarme si attesta a $Pfa=10\%$ così come era nell'assunto.

Il disturbo nei rivelatori quadratici asserviti ai fasci preformati

Se consideriamo le caratteristiche del rivelatore e dell'impostazione della soglia $T$, valutate in precedenza, possiamo pensarle facenti parte di un insieme di rivelatori asservito ad un sistema di $M$ fasci preformati; ciascun fascio è collegato al proprio rivelatore e all'uscita dell'integratore di ciascuno degli $M$ canali viene eseguita la compensazione a $0.1\ N$ e l'apposizione della soglia $T$ al livello di $T=0.27.$

A questo punto è interessante valutare la probabilità di falso allarme $Pfa$ su tutti gli $M$ canali pensando, ragionevolmente, che la compensazione entro $0.1\ N$ possa essere sensibilmente diversa da canale a canale.

Ripetendo la procedura di calcolo, per soglia considerata fissa a $T=0.27,$ ipotizzando una variazione, se pur minima, degli $M$delle tolleranze i di compensazione vediamo come la $Pfa$ varia:

• per tolleranza di compensazione del $10\%\ la\ Pfa=10\%$
• per tolleranza di compensazione del $9.5\%\ la\ Pfa=0.1\%$

Si conclude quindi che non tutti i fasci preformati, ferma la soglia a $T=0.27$, possono avere lo stesso valore di $Pfa$; dal più elevato $10\%$ fissato come impostazione dello studio, a valori nettamente meno penalizzanti per la scoperta sonar.

Bibliografia

• James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• R. J. Urick, Principles of underwater sound, Mc Graw – hill, 3^ ed. 1968

• Milton Abramowitz ..Handbook of mathematical functios, USA 1970