Moto rotatorio

Moto Rotatorio

Per moto rotatorio si intende quel moto durante il quale tutti i punti del corpo si muovono descrivendo una circonferenza attorno ad un asse di rotazione di distanza $r$.

Grandezze Angolari

Per indicare di quanto ha ruotato un corpo, utilizziamo un angolo $\theta$ misurato in radianti. Si definisce radiante quell'angolo il cui arco sotteso $l$ ha lunghezza uguale al raggio.

Dunque se $\theta ={\frac {l}{r}}=1{\rm {rad}}$, in generale vale appunto

$\theta ={\frac {l}{r}}$.

Dato lo spostamento angolare $\Delta _{\theta }=\theta _{2}-\theta _{1}$, definiamo la velocità angolare nel modo consueto, cioè

$\omega ={\frac {\Delta _{\theta }}{\Delta _{t}}}$

misurata in radianti al secondo.

Similmente definiamo l' accelerazione angolare come rapporto tra la variazione di velocità (angolare) e il tempo necessario, cioè

$\alpha ={\frac {\Delta _{w}}{\Delta _{t}}}$.

Ricordiamo però che ciascuna particella del corpo in rotazione ha la medesima velocità angolare, ma la velocità lineare e l'accelerazione lineare varia a seconda della distanza dal centro. La Velocità lineare è data da

$v={\frac {\Delta _{l}}{\Delta _{t}}}=r{\frac {\Delta _{\theta }}{\Delta _{t}}}=r\omega$

e da questa relazione si vede come la velocità lineare sia proporzionale alla grandezza di $r$.

L'accelerazione lineare tangenziale (cioè quella che ha verso uguale alla tangente della circonferenza nel punto della particella in esame) è data da

$a_{\tan }={\frac {\Delta _{v}}{\Delta _{t}}}=r{\frac {\Delta _{\omega }}{\Delta _{t}}}$

e anche in questo caso è evidente la relazione con la lunghezza del raggio e l'accelerazione radiale l'abbiamo già vista come

$a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}={\frac {(rw)^{2}}{r}}=w^{2}r$

anch'essa proporzionale al raggio.

Dunque, l'accelerazione lineare totale di una particella è data dalla somma vettoriale di queste due grandezze, cioè

$a=a_{\tan }+a_{r}$.

Equazioni del moto rotatorio

Ecco una tabella riassuntiva per le equazioni del moto, con il confronto tra quelle angolari e quelle lineari.

${\begin{matrix}\mathbf {lineare} &\mathbf {angolare} \\v=v_{0}+at&\omega =\omega _{0}+\alpha t\\x=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}&\theta =\omega _{0}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}\\v^{2}=v_{0}^{2}+2ax&\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}+2\alpha \theta \\v={\frac {v+v_{0}}{2}}&{\bar {\omega }}={\frac {\omega +\omega _{0}}{2}}\end{matrix}}$