Moti relativi

Moti relativi

Abbiamo iniziato lo studio della cinematica chiarendo il concetto che lo studio di un corpo in movimento e di conseguenza la definizione della sua traiettoria è possibile se definiamo a priori un certo sistema di riferimento rispetto al quale calcolare la posizione del corpo e derivarne le leggi del moto.

Le leggi fisiche ricavate valgono in questo primo sistema di riferimento ma nulla ci impedisce di prenderne in considerazione un altro rispetto al quale il corpo ha una posizione differente ma le leggi che regolano il moto sono dello stesso tipo. Quindi possiamo affermare che le leggi fisiche non dipendono dal sistema di riferimento ma per esse lo spazio è omogeneo ed isotropo, ovvero non vi è un punto privilegiato e nemmeno una direzione privilegiata per lo studio delle leggi fisiche.

Tutto questo vale se i due sistemi di riferimento sono fissi, ma nel caso uno fosse in moto relativo rispetto all'altro allora le cose cambiano: le leggi sono differenti nei due sistemi di riferimento.

Iniziamo col dire che presi due sistemi di riferimento con origine in O (fisso) ed O' (in moto) un punto P nello spazio ha una distanza ${\vec {r}}$ da O ed una distanza ${\vec {r}}_{1}$ da O' .

Possiamo dire allora che

${\vec {r}}={\vec {OO'}}+{\vec {r}}_{1}$

ed utilizzando le regole di derivazione dei versori e dei vettori e i concetti di relazioni tra spazio, velocità ad accelerazione cerchiamo di ottenere le relazioni vettoriali fondamentali per i due sistemi.

Velocità relativa

Iniziamo dalla velocità rispetto al sistema fisso: derivando abbiamo che ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$, quella rispetto ad O' è ${\vec {v}}_{1}={\frac {d{\vec {r}}_{1}}{dt}}$ e quella del sistema O' rispetto ad O ${\vec {v}}_{O'}={\frac {d{\vec {OO'}}}{dt}}$

Otteniamo ${\vec {v}}={\vec {v}}_{O'}+{\vec {v}}_{1}+x'{\frac {d{\vec {u}}_{x}'}{dt}}+y'{\frac {d{\vec {u}}_{y}'}{dt}}+z'{\frac {d{\vec {u}}_{z}'}{dt}}$ e ricordando che ${\frac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {u}}_{i}$ otteniamo

${\vec {v}}={\vec {v}}_{O'}+{\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{1}$

Questa relazione è il teorema delle velocità relative (detto anche teorema di Galileo).

La differenza tra le velocità dei due sistemi viene chiamata velocità di trascinamento e risulta ${\vec {v}}_{t}={\vec {v}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{1}$

Questo termine ha due componenti, una traslatoria legata a ${\vec {v}}_{O'}$ e una rotatoria legata a ${\vec {\omega }}$, e corrisponde in generale a un moto rototraslatorio.

Accelerazione relativa

Ora deriviamo da questa relazione per derivazione la formula dell'accelerazione

${\vec {a}}={\vec {a}}_{1}+{\vec {a}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{1})+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}_{1}+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{1}$

Questo è il teorema delle accelerazioni relative (detto anche teorema di Coriolis).

Analizziamo ora anche i termini di questa relazione: l'accelerazione di trascinamento è data da ${\vec {a}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{1})+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}_{1}$

e l'ultimo termine è chiamato accelerazione di Coriolis data da ${\vec {a}}_{c}=2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{1}$.

Sistemi inerziali

Si definisce sistema inerziale un sistema dove un corpo non soggetto a forze mantiene il suo stato di moto ossia un sistema dove vale la legge d'inerzia.

Un sistema in moto rettilineo uniforme non rotazionale rispetto al sistema fisso di riferimento ha ${\vec {v}}_{O'}$ costante, ${\vec {\omega }}=0$ e ${\vec {a}}_{O'}=0$, e quindi dalle relazioni ricavate precedentemente ricaviamo che l'accelerazione nel sistema in moto vale ${\vec {a}}_{1}={\vec {a}}$ e quindi ne ricaviamo un risultato fondamentale:

Preso un sistema di riferimento inerziale, tutti i sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto al primo sono anche loro sistemi inerziali

Se invece il moto del secondo sistema non è rettilineo uniforme allora siamo in presenza di un contributo dato dalla forza effettiva chiamata forza vera e da forze apparenti date dalle accelerazioni di trascinamento e da quella di Coriolis.

Infatti riportando il risultato ottenuto per l'accelerazione alla seconda legge di Newton, se nel primo sistema abbiamo ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ nel secondo avremo $m{\vec {a}}_{1}={\vec {F}}-m({\vec {a}}_{t}+{\vec {a}}_{c})$ e cioè in un sistema non inerziale abbiamo il contributo delle forze apparenti.