Insiemi e Logica (superiori)

In matematica si parte sempre dagli insiemi. La disciplina che li studia, la Teoria degli Insiemi, con i suoi concetti e simboli fornisce le basi ed un linguaggio comune per poter studiare le altre discipline della matematica.

Insiemi

Non esiste una definizione precisa di insieme, in quanto esso è un concetto primitivo della matematica, o per meglio dire un assioma. Possiamo comunque descriverlo.
Insieme è un qualsiasi raggruppamento, raccolta, collezione, di oggetti di qualsiasi natura. Gli oggetti prendono il nome di elementi.
Un esempio è costituito dall'insieme dei numeri naturali, l'insieme delle regioni d'Italia, ecc.
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto, mentre per indicare un elemento generico di un insieme si usano le lettere minuscole.

Rappresentazioni di un insieme

La rappresentazione di un insieme è importante, perché ha lo scopo di individuarlo e di definire quali sono i suoi elementi. Vi sono diversi modi di rappresentare un insieme.

Rappresentazione tabulare o per elencazione

La rappresentazione tabulare, o per elencazione, si ottiene elencando tutti gli elementi dell'insieme separandoli con una virgola e racchiudendoli in una coppia di parentesi graffe. Ad esempio:

• A = { 1, 3, 5, 7, }
• B = { cane, gatto, cavallo }
• Materie = { Matematica, Fisica, Storia, Geografia, Biologia, Inglese }

Rappresentazione mediante proprietà caratteristica

Per rappresentare un insieme in questo modo, bisogna individuare una proprietà caratteristica a tutti i suoi elementi e a loro soli, e poi scrivere in una coppia di parentesi graffe il nome generico degli elementi dell'insieme seguito da una barra verticale e da una frase che esprime la proprietà caratteristica; tale frase, prende il nome di predicato. Ad esempio:

• A = { a | a è un pezzo degli scacchi }
• B = { b | b è un punto del piano }

In molti casi, nella parte a sinistra della barra verticale si indica l'insieme dal quale provengono tali elementi, ossia l'insieme ambiente:

• C = { x ∈ N | x < 5 }
• D = { x ∈ N | x > 4 }
• E = { x ∈ N | x < 0 }

Le relative rappresentazioni tabulari di C e D sarebbero:

• C = { 0, 1, 2, 3, 4 }
• D = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }
• E = { } oppure Ø

Come si può intuire, l'insieme C è un insieme finito, mentre D è un insieme infinito, ed infine E è un insieme vuoto.

Rappresentazione grafica, mediante i diagrammi di Eulero-Venn

Un insieme si può rappresentare graficamente racchiudendo gli elementi all'interno di una linea chiusa non intrecciata, indicando all'esterno il nome dell'insieme.

Operazioni con gli insiemi

L'insieme complementare

Dato un qualsiasi insieme A e una proprietà caratteristica p che individua i suoi elementi, l'insieme complementare ad A, che chiameremo B, è costituito da tutti gli elementi che non sono individuati da p. Tale insieme avrà una sua proprietà caratteristica che corrisponde alla negazione di p, ossia al risultato di tale operazione logica.
Ad esempio, dati i seguenti insiemi:

• A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
• B = { x ∈ A | x è pari }
• p = x è pari

Si può facilmente intuire che gli elementi di B sono { 2, 4, 6, 8, 10 }, e l'insieme complementare a B, ossia C, visto che è individuato dagli elementi che non sono individuati da p, significa che comprende tutti i numeri di A che non sono pari, e tali numeri sono proprio quelli dispari.

• C = { x ∈ A | x non è pari } oppure { x ∈ A | x è dispari }

In tal caso, bisogna considerare l'insieme ambiente. Se B fosse stato { x | x è pari }, dove l'insieme ambiente o dominio non è specificato, allora B sarebbe un insieme infinito contenente tutti i numeri pari, che sono infiniti. E il suo complementare avrebbe altrettanto contenuto tutti gli infiniti numeri dispari.

Logica

Le proposizioni

Si dice proposizione, o enunciato, una qualsiasi frase per la quale ha senso dire se è vera o se è falsa.
Una proposizione è costituita da un predicato collegato ad uno o più oggetti di un insieme, con il compito di stabilire un legame fra di essi. Gli oggetti prendono il nome di argomenti.
Le proposizioni costituite da un solo predicato si dicono atomiche, mentre quelle costituite da più predicati si dicono molecolari, in realtà una proposizione molecolare è un risultato di operazioni tra enunciati atomici, ossia una espressione.

Le operazioni con le proposizioni

La negazione

La negazione è un'operazione unaria, perché si applica ad una sola proposizione.
Il suo simbolo è ¬ e si antepone alla proposizione, oppure si mette una linea di sovralineatura sulla lettera che la identifica.
L'operazione di negazione ha la funzione di cambiare il valore di verità dell'enunciato.