Dinamica del punto

Cos'è la dinamica

La dinamica cerca di trovare delle leggi che descrivano le cause del moto di un corpo analizzato precedentemente con le leggi della cinematica. Abbiamo visto che un corpo che si muove cambia di posizione lungo una traiettoria ed abbiamo definito la velocità come la variazione del vettore posizione per unità di tempo rispetto a un sistema di riferimento. Ricordiamo che in assenza di velocità il corpo non si muove. Sembra una conclusione ovvia ma se continuiamo nella nostra analisi e consideriamo un corpo in movimento con una certa velocità variabile ci dobbiamo ricordare che abbiamo definito l'accelerazione come tasso di variazione della velocità per unità di tempo. Quindi ne segue che quando la accelerazione è nulla la velocità di un corpo rimane costante.

Anche un corpo fermo in un certo senso è in uno stato di moto con velocità nulla. Quindi la accelerazione da una misura della variazione dello stato di moto di un corpo.

Forza ed Inerzia - Galileo e Newton

Principio d'inerzia (Galileo) o Prima legge di Newton

Galileo Galilei per primo scopre questa relazione qualitativa e stabilisce il principio d'inerzia per il quale un corpo persevera nel suo stato di moto se non soggetto a forze ma cos'è la forza? Intuitivamente la variazione di stato può essere provocata da una qualche interazione con il corpo in esame e quindi possiamo dire che la forza misura l'interazione tra sistemi fisici.

Seconda legge di Newton

Quello che viene espresso da Isaac Newton è la versione quantitativa di questo principio e si rende conto che il corpo è in un certo senso "restio" a cambiare il suo stato di moto e questa resistenza al cambiamento è proporzionale alla sua massa, definita massa inerziale. La proporzionalità ed il rapporto con la forza è definito dalla celebre formula

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

che può essere integrata ricordando la cinematica e quindi

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

Questo modo di interpretare la seconda legge di Newton ci permette quindi di legare le proprietà cinematiche del movimento alle cause che lo provocano.

Terza legge di Newton

Un'altra scoperta di Newton è il cosiddetto principio di Azione-Reazione che dice che in un sistema di riferimento inerziale, un corpo soggetto ad una forza esercitata da un altro corpo reagisce con una forza eguale e contraria.

Quantità di Moto

Un'importante proprietà dei corpi in movimento (si ricorda che l'essere fermo è un tipo di moto) è data dalla quantità di moto ed è una quantità intrinseca del corpo data da

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

La quantità di moto è definita nella fisica classica come prodotto della massa per la velocità. È una grandezza vettoriale che ha importanti applicazioni negli urti: Questa ci permette di riformulare la seconda legge di Newton come ${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$per casi dove la massa potrebbe non essere costante.

Possiamo ora notare che se noi applichiamo al corpo una certa forza per un intervallo di tempo $dt$ avremo una quantità chiamata impulso data da

${\vec {J}}=\int _{0}^{t}{\vec {F}}dt=d{\vec {p}}$

e quindi possiamo dire che l'impulso di una forza provoca una variazione della quantità di moto del corpo. Ne va da se che in assenza di forze la quantità di moto di un corpo rimane costante, o come si dice la quantità di moto si conserva.

Il Teorema dell'impulso mette in relazione le due grandezze appena definite:

$\Delta {\vec {p}}={\vec {I}}$

Infatti, per come è definita la quantità di moto si ha che:

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=m{\vec {a}}={\vec {F}}$

e quindi

$d{\vec {p}}={\vec {F}}dt$

da cui

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}d{\vec {p}}=\Delta {\vec {p}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}dt$

Azione delle forze

Riprendiamo la relazione principale della dinamica e proviamo a definire come una forza influenza il moto. Come abbiamo visto in cinematica l'accelerazione è data da ${\vec {a}}={\vec {a}}_{T}+{\vec {a}}_{N}$ e quindi possiamo scrivere

${\vec {F}}=m{\vec {a}}={\vec {a}}={\vec {a}}_{T}+{\vec {a}}_{N}=m{\frac {dv}{dt}}{\vec {u}}_{T}+m{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {u}}_{N}$

e notiamo come la forza "provochi" una accelerazione con due componenti, una tangenziale alla traiettoria ed una normale e diretta verso il centro di curvatura della traiettoria detta accelerazione centripeta.

La forza quindi può essere divisa in due componenti: una da un contributo tangenziale che provoca una variazione del modulo della velocità, ed una diretta verso il centro di curvatura della traiettoria e quindi ortogonale che determina una variazione della direzione della velocità e quindi del moto.

Equilibrio

Il concetto di equilibrio ora che sappiamo da cosa è provocato il movimento dovrebbe essere più chiaro.

Vi sono due possibili tipi di equilibrio: equilibrio statico che impone un'assenza di movimento ed equilibrio dinamico che comporta un mantenimento dello stato di movimento.

In entrambi i casi si tratta di una situazione nella quale non vi sono variazioni dello stato del moto del corpo e cioè la somma delle forze che agiscono sul corpo detta risultante deve essere nulla.

${\vec {R}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}=0$

ed il moto deve avvenire con velocità costante.

Quando un corpo soggetto a forze rimane fermo si può dedurre che in gioco vi sia una forza che bilancia le forze agenti.

Questa forza viene chiamata reazione vincolare e quindi per avere l'equilibrio vale la seguente ${\vec {R}}+{\vec {N}}=0$

La reazione vincolare va definita di volta in volta esaminando lo stato del sistema.

Analisi di vari tipi di forze

Come abbiamo detto in precedenza vale sempre la formula ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ e quindi, conoscendo il tipo di forza applicato al corpo basta sostituire nella relazione l'espressione della forza in questione per ottenere un rapporto con l'accelerazione del corpo. Integrando otteniamo l'espressione della velocità ed integrando ancora otteniamo l'espressione dello spostamento e la traiettoria del corpo.

Bisogna sempre ricordare che abbiamo a che fare con quantità vettoriali e che quindi ogni grandezza dà dei contributi che scomposti e proiettati sugli assi cartesiani del sistema di riferimento scelto danno le leggi del moto lungo le varie direzioni.

La forza peso

La forza di gravità imprime ai corpi una accelerazione che, in prossimità della superficie terrestre, vale ${\vec {g}}=9.8m/s^{2}$ ed è proporzionale alla massa del corpo secondo la formula ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$ detta forza peso.

La forza di attrito

La forza di attrito è generata dal contatto tra due corpi e, per sua natura, si oppone al moto di questi.

A seconda del materiale del quale i corpi sono composti questa forza sviluppa una reazione al moto di intensità differente. La forza ha quindi una dipendenza da un parametro che chiamiamo coefficiente di attrito ed indichiamo con $\mu \,\!$

L'attrito è anche proporzionale alla reazione vincolare applicata al corpo e quindi possiamo scrivere la forma di questa forza come

${\vec {F}}_{at}=-\mu N{\vec {u}}_{v}$

dove si evidenzia come sia diretta nel senso contrario al verso del moto dato dal segno negativo del versore della velocità.

Il coefficiente di attrito può essere talmente elevato da impedire il movimento oppure solo frenarlo. Nel primo caso si parla di coefficiente di attrito statico mentre nel secondo caso di coefficiente di attrito dinamicocon $\mu _{s}>\mu _{d}\,\!$

Forza elastica

Definiamo forza elestica una forza diretta sempre verso un punto detto centro e con modulo proporzionale alla distanza da esso. In pratica ${\vec {F}}=-kx{\vec {u}}_{x}$

Il moto che ne risulta è un moto oscillatorio armonico rispetto al centro e, come avevamo visto nel capitolo del moto armonico in cinematica la legge che regola un moto armonico è un'equazione differenziale e quindi

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=-kx{\vec {u}}_{x}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\Rightarrow {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {k}{m}}x=0$

e quindi ne possiamo dedurre che $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$.

Le posizioni sono date dalle soluzioni dell'equazione differenziale che abbiamo visto essere $x=A\sin(\omega t+\phi )\,\!$.

Differenziando otteniamo la velocità e differenziando ulteriormente abbiamo l'accelerazione.

Forze centripete

Una forza centripeta è una forza che ha la componente tangenziale alla traiettoria nulla.

Quindi il moto avviene lungo una traiettoria circolare sia perché forzato da vincoli che provocato da forze centrali come quelle gravitazionali.

Piano inclinato

Uno dei più celebri esperimenti di Galileo è quello che riguarda il moto dei corpi su un piano inclinato. Come vedremo il piano inclinato permette di far muovere il corpo sotto una forza che, a seconda dell'inclinazione del piano, è minore della forza di gravità e quindi il moto si svolge più lentamente e quindi è più facile studiarlo.

Come abbiamo detto le forze vanno scomposte lungo gli assi cartesiani per valutare le leggi del moto. Nel caso del piano inclinato il corpo posto su di esso è soggetto alla forza di gravita ma, lungo il piano nel quale si compie il moto, la proiezione della forza peso vale $mg\sin(\theta )\,\!$ e quindi minore in modulo della forza di gravità effettiva.

La forza che imprime un'accelerazione al corpo è quindi minore e provoca una minore variazione della velocità e di conseguenza una più lenta percorrenza del piano inclinato.

In pratica abbiamo che $mg\sin \theta =ma\,\!$ e quindi $a=g\sin \theta \,\!$: il corpo scende con un'accelerazione minore di quella di gravità.

Pendolo Semplice

Il pendolo semplice è un sistema composto da un punto materiale appeso a un punto fisso tramite un filo teso di massa trascurabile.

Il punto percorre una traiettoria curva con raggio pari alla lunghezza del filo e quindi un tratto di una traiettoria circolare.

$m{\vec {g}}+{\vec {T}}_{f}=m{\vec {a}}$

Come si è detto precedentemente le forze vengono scomposte lungo gli assi del sistema di riferimento centrato sul punto.

La forza peso ha una componente lungo la direzione del filo che viene controbilanciata dalla tensione del filo e quindi lungo questa direzione la risultante delle forze è uguale alla accelerazione centripeta e quindi $R_{N}=T_{f}-mg\cos \theta =ma_{N}=m{\frac {v^{2}}{L}}\,\!$ mentre lungo la tangente alla traiettoria avremo $R_{T}=-mg\sin \theta =ma_{T}=mL{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\,\!$

Troviamo quindi che ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0$ che è l'equazione differenziale di un moto armonico. Per piccoli angoli possiamo utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor per la funzione $\sin \theta \,\!$ che ci da $\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+\dots$ che arrestata al primo ordine ci da $\sin \theta \simeq \theta$

Quindi possiamo scrivere ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{L}}\theta =0$ e quindi la legge oraria del moto è $\theta =\theta _{0}\sin(\omega t+\phi )\,\!$ e che $\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}$

Ricordando che $v={\frac {ds}{dt}}=L{\frac {d\theta }{dt}}$ possiamo ricavare la tensione del filo da $m{\frac {v^{2}}{L}}=T_{f}-mg\cos \theta$

La cosa importante da notare è che il periodo del moto è dato da $T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ e non dipende dall'ampiezza nel caso di piccole oscillazioni. Possiamo quindi evidenziare l'isocronismo delle piccole oscillazioni.

Lavoro, Potenza ed Energia

Il contributo di una forza applicata ad un corpo che si muove su di una traiettoria curvilinea è dato dall'integrale di linea di questa forza e quindi se il punto si sposta dal punto A al punto B possiamo scrivere $W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$ e chiamiamo questa nuova quantità lavoro della forza.

In effetti la quantità ${\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=F\cos \theta ds=F_{T}ds$ è la componente tangenziale del lavoro sulla traiettoria di tutte le forze agenti sul punto. I casi in cui il lavoro è nullo sono quelli dove non agisce nesuna forza oppure la risultante delle forze è perpendicolare alla traiettoria così che $\cos \theta =0\,\!$.

Il tasso di variazione del lavoro esprime la rapidità di erogazione dello stesso ed introduce la grandezza chiamata potenza data quindi da ${\frac {dW}{dt}}=F_{T}v$.

Energia Cinetica

Dalla espressione del lavoro possiamo ricavare un'importante grandezza chiamata energia cinetica che ricaviamo direttamente da $dW=F_{T}ds=ma_{T}ds=m{\frac {dv}{dt}}ds=m{\frac {ds}{dt}}dv=mvdv$ ed integrando otteniamo $W={\frac {1}{2}}mv_{B}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{A}^{2}=\Delta E_{k}$ dove $E_{k_{i}}={\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}$

Si noti che l'energia cinetica è stata ricavata utilizzando la seconda legge di Newton e quindi ha validità generale ed inoltre è una caratteristica intrinseca del corpo; ovviamente è legata ad uno spostamento del corpo stesso come lo è il lavoro.

Un'altra espressione lega l'energia cinetica alla quantità di moto ed è la seguente $E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$.

Energia potenziale

Ogni forza che agisce su un corpo che si muove genera lavoro, ma a volte il percorso seguito influisce su di esso ovvero può essere, come nel caso della forza peso o della forza elestica, che il lavoro dipenda solo dalla posizione iniziale e finale del moto mentre in altri casi, come in presenza di attriti, il percorso seguito introduce forze che contribuiscono in modo attivo e delle quali dobbiamo tenere conto.

Le forze che NON dipendono dal percorso seguito si dicono forze conservative. Il lavoro delle forze conservative lungo un percorso chiuso risulta quindi nullo ovvero $\oint {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=0$.

La funzione che definisce il lavoro per forze conservative è data da $W=-\Delta E_{p}\,\!$ dove $E_{p}\,\!$ è detta energia potenziale.

Va ricordato che il fatto che il lavoro lungo un percorso chiuso sia nullo è condizione per l'esistenza di una funzione delle coordinate alla quale posso applicare un operatore chiamato gradiente ed indicato con $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}$. Questo operatore dato uno scalare ritorna un vettore e quindi, in questo caso particolare, il gradiente della funzione energia potenziale ritorna le componenti cartesiane della forza in questione.

In questo caso $F_{x}=-{\frac {\partial E_{p}}{\partial x}},F_{y}=-{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}},F_{z}=-{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}}$ o in modo più compatto

${\vec {F}}=-{\vec {grad}}E_{p}=-\nabla E_{p}$

Energia Meccanica

Le due formule che legano il lavoro, l'energia potenziale e quella cinetica possono essere unificate, ovviamente in presenza di sole forze conservative, per esprimere il concetto di conservazione dell'energia meccanica che definiamo come la somma dell'energia potenziale e quella cinetica di un sistema ed è data da $E_{m}=E_{k}+E_{p}=costante\,\!$.

Nel caso invece vi sia un contributo anche di forze non conservative allora notiamo che il lavoro è dato da $W=W_{c}+W_{nc}=E_{k,B}-E_{k,A}\,\!$. Ricaviamo allora $W_{nc}=E_{m,B}-E_{m,A}\,\!$ ovvero in presenza di forze non conservative l'energia meccanica non resta costante e la differenza di essa coincide con il lavoro proprio delle forze non conservative.

Momenti

Introduciamo ora il concetto di momento di un vettore. Definiamo come momento del vettore ${\vec {v}}$ applicato in un punto P ad una certa distanza da un punto O il vettore ${\vec {M}}_{O}={\vec {OP}}\times {\vec {v}}$.

Il modulo è dato da $M_{O}=OPv\sin \theta =vd\,\!$ dove $\theta \,\!$ è l'angolo formato dalla direzione del vettore ${\vec {v}}$ con la direzione di ${\vec {OP}}$ e quindi d non è altro che la distanza del punto O dalla direttrice di ${\vec {v}}$ e verrà chiamato braccio.

Facciamo notare come il modulo, essendo dipendente da d e non da OP, non dipende dal punto in cui viene applicato il vettore ${\vec {v}}$ lungo la sua direttrice.

A questo punto ritorniamo ai nostri concetti ormai familiari di forza e velocità e definiamo due concetti come il momento angolare ed il momento di una forza

Momento angolare

Presa la traiettoria di un corpo ed un punto fisso detto polo notiamo che rispetto a questo polo la velocità e la quantità di moto di un corpo sono vettori nello spazio ad una distanza ${\vec {r}}$ dal polo.

Possiamo definire allora un momento del vettore quantità di moto rispetto ad O in questo modo ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}$

Momento della forza

Il momento di una forza ha l'espressione ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$ e possiamo notare che se vi sono più forze applicate in un punto vale ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {R}}$

Se consideriamo la variazione del momento angolare nel tempo allora possiamo scrivere ${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times m{\vec {v}}+{\vec {r}}\times m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$.

Nel caso che il polo O sia fermo la prima quantità è nulla in quanto il corpo avrebbe velocità ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$ ed il prodotto vettoriale si annullerebbe. Il secondo termine coincide con la forza applicata moltiplicata vettorialmente per la distanza dal punto O. Ricaviamo così che ${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}$. Questa relazione che abbiamo appena ottenuto prende il nome di Seconda equazione cardinale.

Inoltre è importante notare il caso in cui la forza sia applicata lungo la stessa direttice di ${\vec {r}}$ allora ${\vec {M}}=0$ e di conseguenza ${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=0$ e quindi ${\vec {L}}=costante$.

Poniamo attenzione al valore di ${\vec {L}}$: sappiamo che vale ${\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}$ ma ${\vec {v}}={\vec {v}}_{\theta }+{\vec {v}}_{r}$. In questo caso ${\vec {L}}={\vec {r}}\times m({\vec {v}}_{\theta }+{\vec {v}}_{r})$ e la parte ${\vec {v}}_{r}$ si annulla in un prodotto vettoriale con ${\vec {r}}$ in quanto paralleli lasciando quindi ${\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}_{\theta }$.

Il modulo vale $L=mrv_{\theta }=mr^{2}{\frac {d\theta }{dt}}$. La costanza di ${\vec {L}}$ in un campo di forza centrale implica così la costanza del prodotto $r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}$ e sarà la chiave per la condizione della costanza della velocità areale nella gravitazione newtoniana.