Dinamica del corpo rigido

Definizione di corpo rigido

Un sistema di punti che mantengano la distanza reciproca viene chiamato corpo rigido; ovviamente questa è sempre una semplificazione per permetterci di trattare alcune caratteristiche del moto di un corpo.

Non variando le distanze tra i punti la risultante delle forze interne al sistema è nulla e quindi la variazione dell'energia cinetica durante il moto è dovuta solo alle forze esterne. Abbiamo quindi che

${\vec {R}}=m{\vec {a}}_{m},{\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}},W=\Delta E_{k}$

Possiamo scomporre il moto di un corpo rigido in due tipi di moto, uno traslatorio ed uno rotatorio. La traslazione è legata alla velocità ${\vec {v}}_{CM}$ del centro di massa e la rotazione alla velocità angolare ${\vec {\omega }}$.

Centro di massa di un corpo rigido

Anche per il centro di massa riprendiamo i concetti visti per l'insieme di punti ma, considerando la continuità di un corpo rigido le sommatorie vengono sostituite da intergali e quindi

${\vec {r}}_{CM}={\frac {\sum _{i}{m_{i}{\vec {r}}_{i}}}{mtot}}\Rightarrow {\vec {r}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}dm}{\int dm}}={\frac {\int {\vec {r}}\rho dV}{m}}$

considerando che $m=\rho V\,\!$

Momenti

Consideriamo un asse di rotazione: i punti percorrono durante la rotazione una traiettoria circolare con velocità $v_{i}=\omega R_{i}\,\!$. La proiezione del momento angolare sull'asse di rotazione risulta così $L_{i}=m_{i}r_{i}v_{i}=m_{i}r_{i}R_{i}\omega \,\!$.

Momento angolare

La somma dei momenti angolari è data da

$L_{z}=\sum _{i}L_{iz}=(\sum _{i}m_{i}R_{i}^{2})\omega =I_{z}\omega$

La quantità $I_{z}\,\!$ è il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Quello che possiamo notare è che la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione dipende dalla forma del corpo, cioè dalla posizione dei singoli punti rispetto all'asse di rotazione ed un coefficiente che è proprio di ogni corpo.

Nel caso in cui ${\vec {L}}\|{\vec {\omega }}$ ovvero quando l'asse di simmetria coincide con l'asse di rotazione allora

${\vec {L}}=I_{z}{\vec {\omega }},L=L_{z},L_{\perp }=0$

Per questo caso particolare abbiamo anche che ${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(I_{z}{\vec {\omega }})=I_{z}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I_{z}\alpha$ e quindi

${\vec {M}}=I_{z}{\vec {\alpha }}$

Possiamo fare un paragone con la nota formula ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ e possiamo notare che, mentre la massa inerziale è la misura dell'opposizione del corpo alla modifica del suo stato di moto, il momento d'inerzia è l'opposizione del corpo allo stato di rotazione. La differenza fondamentale è che mentre la massa è una quantità definita del corpo, il momento d'inerzia dipende dalla scelta dell'asse di rotazione.

Momento d'inerzia

Abbiamo detto che il momento d'inerzia dipende dalla forma del corpo e dalla posizione dell'asse di rotazione. Il calcolo viene effettuato dalla seguente formula dove $I=\int R^{2}dm=\int \rho R^{2}dV$ e quindi il momento d'inerzia è la somma di tutti i momenti d'inerzia rispetto al medesimo asse.

Solo per un esempio calcoliamo il momento d'inerzia di un'asta sottile omogenea. Detto $S\,\!$ la sezione dell'asta, $d\,\!$ la lunghezza dell'asta e $dx\,\!$ la distanza dal centro con $dm=\rho Sdx\,\!$ abbiamo che $I_{z}=\int _{-d/2}^{d/2}x^{2}dm=\rho S\int _{-d/2}^{d/2}x^{2}dx={\frac {1}{12}}\rho Sd^{3}={\frac {1}{12}}md^{2}$

Energia cinetica

Calcoliamo ora l'energia cinetica del corpo rigido che risulta uguale a

$E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}R_{i}^{2}\omega ^{2}$

e vale sempre che il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica ovvero $W=\Delta E_{k}$

Teorema di Huygens-Steiner

Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo all'asse su cui si calcola $I_{c}$ che si trova ad una distanza $d\,\!$ dal centro di massa è dato da

$I=I_{c}+md^{2}\,\!$

Pendolo composto

Chiamiamo pendolo composto un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Il momento della forza peso è dato da $M=-mgh\sin \theta =I_{z}\alpha =I_{z}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$

Ne segue che ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {mgh}{I_{z}}}sin\theta =0$ che è l'equazione del moto armonico. Come sappiamo la soluzione di questa equazione differenziale, per piccoli angoli ovvero con l'approssimazione $\sin \theta \approx \theta$, è data da $\theta =\theta _{0}\sin {\omega t+\phi }\,\!$

La pulsazione è $\omega ={\sqrt {mgh/I_{z}}}\,\!$ e se poniamo $l=I_{z}/mh\,\!$, dove $l$ è la lunghezza ridotta del pendolo composto ovvero la lunghezza che avrebbe un pendolo semplice che oscilla con lo stesso periodo. Ricordiamo anche che $I_{z}=I_{c}+mh^{2}\,\!$ dato dal teorema di Huygens-Steiner visto che il corpo rigido oscilla attorno ad un asse che non coincide con il centro di massa.

Moto di puro rotolamento

Un altro caso di moto di un corpo rigido è il tipico moto di una ruota ovvero un moto di puro rotolamento. In questo caso l'asse di rotazione non è un asse materiale ma geometrico, ovvero si sposta insieme al corpo rigido. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto con il piano che rimane fermo e quindi è sottoposto ad una forza di attrito statico.