Dinamica dei sistemi di punti materiali

Forze esterne ed interne

Abbiamo parlato nella dinamica del punto del comportamento di un corpo sottoposto all'azione di forze. Ora analizziamo la situazione nella quale diversi punti fanno parte di un sistema complesso e tra di essi vi sono sia forze esterne al sistema sia forze interne, cioè forze che agiscono solo all'interno del sistema e sono generate all'interno del sistema stesso. Un esempio può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema.

In un sistema di punti ognuno di essi contribuisce con le sue quantità intrinseche al comportamento generale del sistema e quindi per quanto riguarda la quantità di moto il sistema avrà ${\vec {P}}=\sum _{i}{\vec {P}}_{i}=\sum _{i}m{\vec {v}}_{i}$, per l'energia cinetica $E_{k}=\sum E_{k},i={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}_{i}^{2}$ e se consideriamo un punto qualsiasi nel sistema inerziale l'espressione del momento angolare del sistema diventa ${\vec {L}}=\sum _{i}{\vec {L}}_{i}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {m}}_{i}{\vec {v}}_{i}$.

Centro di massa

La scelta di un punto di riferimento per lo studio del moto del sistema ci porta a considerare un particolare punto che ha delle caratteristiche che ci permetteranno di facilitare una serie di espressioni e di semplificare lo studio di alcuni casi di moto: questo punto (che potrà essere a volte considerato anche come l'origine del sistema di riferimento) si chiama centro di massa.

La posizione è data da

${\vec {r}}_{CM}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}$ 

e tiene conto in un certo senso (è una media pesata) del contributo delle singole masse di ciascun punto: masse maggiori contribuiscono in maniera preponderante.

Un esempio potrebbe essere il nostro sistema solare considerato un centro del sistema di riferimento un punto al di fuori di esso: la posizione del centro di massa sarebbe quasi coincidente con quella del nostro sole che ne detiene il 99% della massa totale.

L'utilità del centro di massa risulta chiara se noi proviamo a calcolarne la velocità e l'accelerazione; otteniamo infatti per la velocità la seguente espressione ${\vec {v}}_{CM}={\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}}{\sum _{i}m_{i}}}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sum m_{i}}}={\frac {\vec {P}}{m_{tot}}}$ che esprime il fatto che il centro di massa ha la stessa quantità di moto dell'intero sistema ed è come se tutta la massa fosse concentrata in esso.

Lo stesso ragionamento vale per l'accelerazione ed otteniamo lo stesso risultato che, integrato con la seconda legge di Newton ci da $m{\vec {a}}_{CM}=\sum _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}^{est}+\sum _{i}{\vec {F}}_{i}^{int})={\vec {R}}^{est}+{\vec {R}}^{int}$

Quantità di moto

Possiamo notare che le forze interne ad un sistema seguono la terza legge di Newton ovvero il principio di azione e reazione per cui sono a due a due eguali e contrarie, quindi si annullano ed ${\vec {R}}^{int}=0$.

La relazione che ne deriva è il cosiddetto teorema del centro di massa:

${\vec {R}}^{est}=m{\vec {a}}_{CM}=m_{tot}{\frac {d{\vec {v}}_{cm}}{dt}}={\frac {d{\vec {P}}}{dt}}$

ovvero il centro di massa si muove come se la massa totale del sistema fosse concentrata in esso e ad essa fosse applicata la risultante delle sole forze esterne

È importante notare che se un sistema non è influenzato da forze esterne allora ${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=0$ e ne segue che ${\vec {P}}=costante$ quindi si può dire che in un sistema isolato vi è una conservazione della quantità di moto

Momento angolare

Un altro aspetto importante dell'utilizzo del centro di massa come origine del sistema di riferimento è l'analisi del momento angolare del sistema.

Abbiamo visto che il sistema può essere influenzato da forze esterne ed interne; se consideriamo un polo ed analizziamo i due momenti delle forze totali abbiamo che ${\vec {M}}^{est}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}^{est}$ ed analogamente ${\vec {M}}^{int}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}^{int}$. Il fatto che le forze interne siano uguali e contrarie fa si che abbiano la medesima direttrice e quindi il loro momento totale è nullo.

Il momento angolare del sistema è dato da ${\vec {L}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}$ e la sua derivata rispetto al tempo è ${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}+\sum {\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ (ricordando sempre le regole di derivazione dei vettori). Ricordando che $m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}=m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}$ e che ${\vec {M}}^{int}=0$ otteniamo la seguente relazione ${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}^{est}-{\vec {v}}_{O}\times m{\vec {v}}_{CM}$.

Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa otteniamo il teorema del momento angolare

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}^{est}$ 

cioè che il momento angolare, in questi casi, dipende solo dai momenti delle forze esterne.

Ne va da se che se il momento delle forze esterne è nullo allora ${\vec {L}}=costante$ ed abbiamo una conservazione del momento angolare.

Sistema del centro di massa

Possiamo ora considerare il caso in cui si utilizzi il centro di massa come origine del sistema di riferimento. Quello che avviene è che gli assi non variano la direzione ed utilizzando le regole viste nel capitolo del moti relativi senza i termini riguardante la rotazione otteniamo che ${\vec {r}}_{CM}=0$ e che ${\vec {v}}_{CM}=0$ e quindi anche la quantità di moto totale calcolata rispetto al centro di massa è nulla; inoltre essendo anche ${\vec {a}}_{CM}=0$ anche il momento risultante è uguale al solo contributo delle forze esterne "vere" e non ha termini "apparenti" dovuti alle forze d'inerzia.

Teoremi di Konig

Ora non ci rimane altro che legare il sistema di riferimento inerziale con il sistema del centro di massa. Ci vengono in aiuto per questo due teoremi che analizzano il comportamento del momento angolare il primo e dell'energia cinetica il secondo. In sostanza il punto di partenza è che per il moto relativo del sistema del centro di massa abbiamo che per ogni punto ${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}+{\vec {r}}_{CM}$ e per la velocità ${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{CM}$

Primo teorema di Konig

Dall'espressione ${\vec {L}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}$ e sostituendo ne risulta che

${\vec {L}}={\vec {L}}_{1}+{\vec {L}}_{CM}$

ovvero il momento angolare di un sistema è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento angolare riferito ad esso.

Dimostrazione

Dall'espressione ${\vec {L}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}$ e sostituendo ${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{1}+{\vec {r}}_{CM}$ e ${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{CM}$ risulta ${\vec {L}}=\sum _{i}({\vec {r}}_{1}+{\vec {r}}_{CM})\times m_{i}({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{CM})$, sviluppando ${\vec {L}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{1}\times m_{i}{\vec {v}}_{1}+\sum _{i}{\vec {r}}_{1}\times m_{i}{\vec {v}}_{CM}+\sum _{i}{\vec {r}}_{CM}\times m_{i}{\vec {v}}_{1}+\sum _{i}{\vec {r}}_{CM}\times m_{i}{\vec {v}}_{CM}$ con

$\sum _{i}{\vec {r}}_{1}\times m_{i}{\vec {v}}_{1}={\vec {L}}_{1}$

$\sum _{i}{\vec {r}}_{1}\times m_{i}{\vec {v}}_{CM}=\sum _{i}{\vec {r}}_{CM}\times m_{i}{\vec {v}}_{1}=0$

$\sum _{i}{\vec {r}}_{CM}\times m_{i}{\vec {v}}_{CM}={\vec {L}}_{CM}$

Risulta quindi ${\vec {L}}={\vec {L}}_{1}+{\vec {L}}_{CM}$

$\Box$

Secondo teorema di Konig

Analogamente per l'energia cinetica otteniamo, utilizzando gli stessi concetti che

$E_{k}=E_{k,1}+E_{k,CM}\,\!$

ovvero l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso.

Dimostrazione

Dall'espressione $E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}$ e sostituendo $v_{i}=v_{1}+v_{CM}$ risulta $E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{1}+v_{CM})^{2}$ che è anche $E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{1}+v_{CM})(v_{1}+v_{CM})$, sviluppata risulta $E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{1}v_{1})+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{1}v_{CM})+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{CM}v_{1})+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{CM}v_{CM})$ con

$\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{1}v_{1})=E_{k,1}$

$\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{1}v_{CM})=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{CM}v_{1})=0$

$\sum _{i}{\frac {1}{2}}m(v_{CM}v_{CM})=E_{k,CM}$

Risulta quindi $E_{k}=E_{k,1}+E_{k,CM}$

$\Box$

Energia cinetica

Come abbiamo visto in precedenza all'inizio del modulo l'energia cinetica è data dalla somma delle energie cinetiche dei punti costituenti il sistema.

Sappiamo però che l'energia cinetica è legata al lavoro tramite la relazione $W=\Delta E_{k}\,\!$ ma nel caso di più punti materiali il lavoro viene fatto dalle forze esterne ed anche da quelle interne se vi è una variazione delle posizioni reciproche dei corpi e quindi l'espressione generale diventa $W^{est}+W^{int}=\Delta E_{k}\,\!$ dove $\Delta E_{k}\,\!$ è l'energia cinetica totale.

Vale anche per il sistema di punti che, nel caso le forze interne e le forze esterne siano conservative si ha una conservazione dell'energia cinetica totale con $W=\Delta (E_{k}+E_{p})=\Delta E_{M}=costante\,\!$.

Anche in questo caso se una delle due risultanti delle esterne od interne non è conservativa il lavoro è espresso dall'espressione $W_{nc}=\Delta E_{m}\,\!$.

Urti

Se due corpi interagiscono per un intervallo di tempo trascurabile rispetto al tempo durante quale si analizza il sistema possiamo parlare di urto. Il fatto che il tempo di interazione sia molto breve è fondamentale per il fatto che altrimenti ci sarebbe da considerare anche la forza in gioco durante l'urto e quindi un contributo di un impulso non trascurabile.

Non essendoci forze esterne che agiscono durante l'urto possiamo parlare di conservazione della quantità di moto del sistema

Urti completamente anelastici

Nell'urto completamente anelastico i due corpi proseguono insieme nel loro moto. Si può dire allora studiando la quantità di moto che si conserva che $m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\vec {v}}_{CM}$ in quanto il centro di massa ha la stessa posizione dei corpi uniti.

Anche l'energia cinetica del sistema vale$\Delta E_{k}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})v_{CM}^{2}-({\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2})$ e possiamo notare che l'energia cinetica dopo l'urto è minore di quella prima dello stesso. L'energia "persa" è stata spesa per unificare i corpi all'atto dell'urto.

Urti elastici

Un urto si dice elastico quando l'energia cinetica viene conservata dopo l'urto ed i due corpi proseguono immutati il loro moto e cioè ${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,i}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,i}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1,f}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2,f}^{2}$

In generale in un urto una parte di quantità di moto viene scambiata e possiamo chiamare coefficiente di restituzione il valore $e=-{\frac {P_{1,finale}}{P_{1,iniziale}}}=-{\frac {v_{1,finale}}{v_{1,iniziale}}}=-{\frac {P_{2,finale}}{P_{2,iniziale}}}=-{\frac {v_{2,finale}}{v_{2,iniziale}}}$ e vale anche $E_{k,finale}=e^{2}E_{k,iniziale}\,\!$

Il valore di $e\,\!$ varia da 0 (urto completamente anelastico) a 1 (urto elastico) e nel caso intermedio l'urto si dice anelastico che è il caso più comune.

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