Nuova formula per la distribuzione dei numeri primi

Autore

Riccardo Franchini (utente Utente:Riccardo fresh) -06/01/2025

Introduzione

In questo lavoro viene proposta una formula innovativa per descrivere i numeri primi senza dipendere da formule e risultati esistenti.Teorema dei numeri primi

Obiettivo

Costruire un modello che identifichi i numeri primi e che fornisca anche un metodo per calcolare l'n-esimo numero primo.

Definizioni e Notazioni

Numeri primi: sono numeri interi positivi maggiori di 1 divisibili solo per 1 e per sé stessi.

Numeri primi

P(x): funzione indicatrice.

P(x) =

: 1, se x è primo  
: 0, se x non è primo

∂ₙ(x): è una funzione che tiene conto di quanti numeri primi sono stati trovati fino a x e restituisce x solo quando raggiunge il n-esimo primo.

Θ(x): funzione di Heaviside:

Θ(x) =

: 1, se x ≥ 0  
: 0, altrimenti (x < 0)

Verifica della primalità tramite i divisori potenziali

Un metodo per determinare se un numero intero positivo x è primo consiste nel controllare i suoi divisori potenziali, cioè i numeri interi compresi tra 2 e $\lfloor {\sqrt {x}}\rfloor$ .

La funzione utilizzata è definita come:

$P(x)=\prod _{k=2}^{\lfloor {\sqrt {x}}\rfloor }\left(1-\delta (x{\bmod {k}}=0)\right)$

Dove:

$\delta (x{\bmod {k}}=0)$ restituisce 1 se x è divisibile per k, altrimenti 0.
Il prodotto restituisce 1 se nessun k divide x, e quindi x è primo.
Restituisce invece 0 se almeno un k divide x, il che indica che x non è primo.

Esempi

Caso 1: x = 7

Divisori potenziali: {2, 3}

7 mod 2 = 1
7 mod 3 = 1

$P(7)=(1-0)(1-0)=1\Rightarrow 7{\text{ è primo}}$

Caso 2: x = 9

Divisori potenziali: {2, 3}

9 mod 2 = 1
9 mod 3 = 0

$P(9)=(1-0)(1-1)=0\Rightarrow 9{\text{ non è primo}}$

Considerazioni logiche

La funzione $P(x)$ restituisce vero (1) se la condizione di non divisibilità è verificata per tutti i divisori potenziali.
Restituisce falso (0) se almeno un divisore divide perfettamente il numero.

Funzione per l’individuazione del n-esimo numero primo

Descrizione

Questa sezione illustra una funzione matematica che consente di determinare l’n-esimo numero primo, utilizzando la funzione indicatrice di primalità e la funzione di Heaviside.

Componenti della Funzione

• Funzione di Heaviside $\Theta (x)$ :

$\Theta (x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x\geq 0\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}$

• Funzione indicatrice di primalità $P(x)$ :

$P(x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x{\text{ è primo}}\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

• Conta dei numeri primi fino a $x$ :

$\sum _{k=2}^{x}P(k)$

Questa somma restituisce il numero totale di primi compresi tra 2 e $x$ .

Funzione per il n-esimo numero primo

La funzione per ottenere il numero primo $P_{n}$ , cioè l’n-esimo numero primo, è data da:

$P_{n}=\sum _{x=2}^{\infty }x\cdot P(x)\cdot \left[\Theta \left(n-\sum _{k=2}^{x}P(k)\right)-\Theta \left(n-1-\sum _{k=2}^{x}P(k)\right)\right]$

Tale espressione seleziona esattamente l’intero $x$ per cui la somma cumulativa dei primi raggiunge il valore $n$ . Tutti gli altri addendi risultano nulli grazie alla funzione di Heaviside.

Esempio Applicativo

Calcolo del 10° numero primo:

$P_{10}=\sum _{x=2}^{\infty }x\cdot P(x)\cdot \delta _{n,x}$

• Dove $\delta _{n,x}=1$ solo per $x=29$ , e 0 per tutti gli altri valori. • Risultato: $P_{10}=29$

Considerazioni finali

Questo metodo, sebbene computazionalmente oneroso per valori elevati di $n$ , è matematicamente elegante e utile in ambiti didattici per esplorare le proprietà delle funzioni indicatrici. Formule numeri primi

Conclusioni sulla Funzione di Generazione dei Numeri Primi

Autore

Riccardo Franchini, 06/01/2025

Sintesi

Viene proposta una formula capace di offrire una nuova prospettiva sulla distribuzione dei numeri primi. Si tratta di uno strumento che, pur nella sua semplicità formale, ha implicazioni interessanti nella comprensione e generazione dei numeri primi.

Caratteristiche della Formula

La formula permette di:

✅ Verificare se un numero x è primo
🔁 Calcolare i numeri primi successivi, in ordine crescente
🔢 Individuare il m-esimo numero primo

Riferimenti

Saggio completo su Zenodo – Riccardo Franchini (2025)