Esercizi sulle reti elettriche (superiori)

Di seguito verranno proposti e risolti – con differenti approcci – alcuni semplici esercizi relativi alle reti elettriche resistive in corrente continua.

Concetti propedeutici

Prerequisiti fondamentali per la risoluzione degli esercizi che seguono sono la conoscenza della Legge di Ohm, dei Principi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie e – naturalmente – del concetto di resistenze elettriche in serie e in parallelo.

Legge di Ohm

La Legge di Ohm recita che la tensione $V$ (si misura in Volt simbolo $V$) è pari alla resistenza $R$ (si misura in Ohm simbolo $\Omega$) moltiplicata per l'intensità di corrente $I$ (si misura in Ampere simbolo $A$). Pertanto si ha:

$V=R\cdot I\quad ;\quad R={\frac {V}{I}}\quad ;\quad I={\frac {V}{R}}$.

Primo principio di Kirchhoff

Primo principio di Kirchhoff.

Il primo principio di Kirchhoff (noto anche come legge di Kirchhoff applicata ai nodi) dice che la somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla. Più semplicemente: la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti dal nodo stesso, come mostrato in figura.

$\overbrace {\sum _{i=1}^{n}I_{i}} ^{\text{entranti}}=\overbrace {\sum _{k=1}^{m}I_{k}} ^{\text{uscenti}}$,

nel caso specifico di figura, si ottiene:

$I_{2}+I_{3}=I_{1}+I_{4}$.

Secondo principio di Kirchhoff

Secondo principio di Kirchhoff.

Il secondo principio di Kirchhoff (noto anche come legge di Kirchhoff applicata alle maglie) dice che la somma algebrica delle cadute di tensione in una maglia è nulla. Più semplicemente: in una maglia, la somma delle tensioni generate è pari alla somma delle cadute di tensione, come mostrato in figura.

$\overbrace {\sum _{i=1}^{n}V_{i}} ^{\text{generatori}}=\overbrace {\sum _{k=1}^{m}V_{k}} ^{\text{carichi}}$,

nel caso specifico di figura, si ottiene:

$V_{4}=V_{1}+V_{2}+V_{3}$.

Resistenze in serie

Due, o più, resistenze si dicono in serie quando sono attraversate dalla stessa corrente. In questo caso, la resistenza equivalente è pari alla loro somma:

$R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\dots +R_{n}$.

Se le resistenze sono tutte uguali, si ha:

$R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R=R+R+R+\dots +R=nR$.

Resistenze in parallelo

Due, o più, resistenze si dicono in parallelo quando sono sottoposte alla stessa tensione. In questo caso, l'inverso della resistenza equivalente è pari alla somma dell'inverso di tutte le resistenze:

${\frac {1}{R_{eq}}}=\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}$;

pertanto, la resistenza equivalente è pari a:

$R_{eq}={\frac {1}{\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}}}$.

Se le resistenze sono tutte uguali, si ha:

$R_{eq}={\frac {1}{\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R}}+\dots +{\frac {1}{R}}}}={\frac {1}{\frac {n}{R}}}={\frac {R}{n}}$.

Infine, un caso di interesse, è quando le resistenze in parallelo sono soltanto due. In questo caso si ha:

$R_{eq}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}={\frac {1}{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}\cdot R_{2}}}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$.

Esercizio 1

Un dispositivo mobile ha una batteria da $3,3~{\text{V}}$ e $2.600~{\text{mAh}}$. Il suo caricatore ha un'uscita da $5~{\text{V}}$ e $2~{\text{A}}$ (la tensione del caricatore è superiore a quella del dispositivo mobile per motivi che verranno chiariti in seguito).

Calcolare il tempo di carica; la resistenza equivalente del dispositivo in stand by se – per ipotesi – dopo tre giorni il dispositivo è completamente scarico; la resistenza equivalente del dispositivo quando si cercano i Pokémon e la batteria si scarica dopo 50'.

Commenti e riflessioni

Il tempo di carica è pari a:

$t_{carica}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{I_{carica}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{2~{\text{A}}}}={\frac {2,6~{\text{Ah}}}{2~{\text{A}}}}=1,3~{\text{h}}=1~{\text{h}}~18'.$

La durata della batteria in stand by si ottiene calcolando, prima il flusso di corrente in tali condizioni e – a seguire – il tempo di scarica.

$I_{stand~by}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{T_{stand~by}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{3~{\text{gg}}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{72~{\text{h}}}}\simeq 36,11~{\text{mA}},$

$R_{stand~by}={\frac {V}{I_{stand~by}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{36,11~{\text{mA}}}}=91,4~\Omega .$

Giocando con i Pokemon, attività che richiede al dispositivo più energia, la durata della batteria diminuisce (come mostrato dai dati del problema), di conseguenza ci si aspetta che la corrente istantanea aumenti e diminuisca la resistenza equivalente.

$I_{Pokemon}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{T_{Pokemon}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{50'}}\simeq {\frac {2.600~{\text{mAh}}}{0,83~{\text{h}}}}\simeq 3,133~{\text{A}},$

$R_{Pokemon}={\frac {V}{I_{Pokemon}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{3,133~{\text{A}}}}\simeq 1~\Omega .$

Esercizio 2

Un dispositivo mobile richiede un alimentatore stabilizzato (il quale eroghi una tensione continua e stabile) di $5~{\text{V}}$ per caricarsi. Purtroppo, l'alimentatore si è appena rotto. Si hanno a disposizione una batteria da $9~{\text{V}}$ e varie resistenze elettriche.

Quale circuito occorre realizzare per ottenere in uscita una tensione pari a $5~{\text{V}}$?

Commenti e riflessioni

Il problema si risolve ricorrendo a un partitore di tensione, circuito ampiamente utilizzato quando si vuole ottenere una frazione della tensione di partenza. È costituito da due (o più) resistenze in serie, le quali ripartiscono la tensione del generatore in due (o più) parti: una da $4~{\text{V}}$ e – la rimanente – da $5~{\text{V}}$ (quella che si desidera in uscita).

La tensione in uscita è, pertanto, pari a:

$V_{OUT}=R_{2}\cdot I_{TOT}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{1}+R_{2}}}=V_{G}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}.$

La soluzione più semplice è $4~{\text{k}}\Omega$ e $5~{\text{k}}\Omega$, ma – purtroppo – questi valori non sono in commercio. I valori di resistenza che più si avvicinano a un'uscita di $5~{\text{V}}$ sono $R_{1}=3,3~{\text{k}}\Omega$ e $R_{2}=4.7~{\text{k}}\Omega$. L'errore commesso – nel calcolo della tensione d'uscita – è di $288~{\text{mV}}$, ed essa vale $V_{OUT}=5,288~{\text{V}}$.

Lo schema di montaggio del circuito sovrastante, è il seguente:

Esercizio 3

Dato il circuito in figura determinale la corrente $I_{R_{3}}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$18~{\text{V}}$
$R_{1}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$6~{\text{k}}\Omega$

Commenti e riflessioni

Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile, seguendo il flusso delle correnti.

Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up, ovvero partendo dalla corrente/tensione che si desidera trovare fino ai termini noti.

$I_{R_{3}}={\frac {V_{AB}}{R_{3}}}={\frac {6~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

$V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=6~{\text{V}}$

$R_{AB}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{R_{4}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}}}=1~{\text{k}}\Omega$

$R_{3,4}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}={\frac {18~{\text{M}}\Omega ^{2}}{9~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{AB}={\frac {R_{3,4}\cdot R_{2}}{R_{3,4}+R_{2}}}={\frac {R_{3,4}}{2}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2}}=1~{\text{k}}\Omega \qquad {\text{Poiché }}R_{2}=R_{3,4}$

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=2~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.$

Esercizio 4

Dato il circuito di Figura determinale la tensione che cade su $R_{5}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$20~{\text{V}}$
$R_{1}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$4~{\text{k}}\Omega$
$R_{5}$	$200~\Omega$

Commenti e riflessioni

Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile.

Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up.

$V_{R_{5}}=R_{5}\cdot I_{3-5}=200~\Omega \cdot 5~{\text{mA}}=1~{\text{V}}$

$I_{3-5}={\frac {V_{AC}}{R_{3-5}}}={\frac {5~{\text{V}}}{1~{\text{k}}\Omega }}=5~{\text{mA}}$

$V_{AC}=V_{G}-V_{R_{1}}=20~{\text{V}}-15~{\text{V}}=5~{\text{V}}$

$R_{3-5}=R_{AB}+R_{5}=800~\Omega +200~\Omega =1~{\text{k}}\Omega$

$R_{AB}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 4~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=800~\Omega$

$V_{R_{1}}=R_{1}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 10~{\text{mA}}=15~{\text{V}}$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {20~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=10~{\text{mA}}$

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=1.5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =1,5~{\text{k}}\Omega +0,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega$

$R_{AC}={\frac {R_{2}\cdot R_{3-5}}{R_{2}+R_{3-5}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 1~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega }}=500~\Omega$

Esercizio 5

Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su $R_{6}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$24~{\text{V}}$
$R_{1}$	$500~\Omega$
$R_{2}$	$500~\Omega$
$R_{3}$	$2,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{5}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$6~{\text{k}}\Omega$

Commenti e riflessioni

In questo caso si risolverà l'esercizio diversamente dagli esercizi precedenti. Non si ricorrerà alla tecnica top-down/bottom-up. Si procederà al calcolo della resistenza totale e – dopodiché – al calcolo della corrente richiesta.

Di norma, per la risoluzione di un esercizio di questo genere (dopo il calcolo della resistenza totale) sono richiesti un numero di passaggi elementari pari a quelli usati nel corso del calcolo della resistenza totale, a meno che non si ricorra a formule quali partitore di tensione o altro. In questo caso il numero di calcoli necessari potrebbe diminuire.

Calcolo della resistenza totale

$R_{BC}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{4-6}=R_{4}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=500~\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$R_{AC}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-6}}{R_{2,3}+R_{4-6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{k}}\Omega \quad ;\quad R_{AC}={\frac {R_{4-6}}{2}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega }{2}}=1,5~{\text{k}}\Omega$

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega$

Calcolo di $I_{R_{6}}$

A questo punto, partendo dalla corrente totale, si arriverà al dato richiesto. Passo dopo passo.

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {24~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{mA}}$

$V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 12~{\text{mA}}=18~{\text{V}}$

$I_{4-6}={\frac {V_{AC}}{R_{4-6}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{4-6}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}$

$I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

Risoluzione utilizzando i partitori di tensione

$V_{AC}=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{AC}}}=24~{\text{V}}{\frac {1,5~{\text{k}}\Omega }{500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}$

$V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{4}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}$

$I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

Esercizio 6

Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su $R_{7}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$30~{\text{V}}$
$R_{1}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$5~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$750~\Omega$
$R_{5}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$6~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$250~\Omega$

Risoluzione col metodo dell'Esercizio 5

$R_{CD}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{4-7}=R_{4}+R_{CD}+R_{7}=750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega =3~{\text{k}}\Omega$

$R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=1~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega$

$R_{AB}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-7}}{R_{2,3}+R_{4-7}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$

$R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {30~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$

$V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}$

$I_{4-7}={\frac {V_{AB}}{R_{4-7}}}={\frac {12~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{mA}}$

$V_{R_{7}}=R_{7}\cdot I_{4-7}=250~\Omega \cdot 4~{\text{mA}}=1~{\text{V}}$

Risoluzione utilizzando i partitori di tensione

$V_{AB}=V_{G}{\frac {R_{AB}}{R_{1}+R_{AB}}}=30~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}$

$V_{R_{7}}=V_{AB}{\frac {R_{7}}{R_{4}+R_{CD}+R_{7}}}=12~{\text{V}}{\frac {250~\Omega }{750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega }}=1~{\text{V}}$

Esercizio 7

Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su $R_{7}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$45~{\text{V}}$
$R_{1}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$500~\Omega$
$R_{4}$	$6~{\text{k}}\Omega$
$R_{5}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{8}$	$4~{\text{k}}\Omega$

Risoluzione dell'esercizio 7

Si procede con il calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$:

$R_{7-8}=R_{7}+R_{8}=2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{7-8}}{R_{6}+R_{7-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{AC}={\frac {R_{4}\cdot R_{5-8}}{R_{4}+R_{5-8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

${\begin{aligned}R_{TOT}&=R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}\\&=1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =5~{\text{k}}\Omega .\end{aligned}}$

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {45~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=9~{\text{mA}},$

$V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 9~{\text{mA}}=18~{\text{V}},$

$I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}},$

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}},$

$I_{7-8}={\frac {V_{BC}}{R_{7-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}},$

$V_{7}=R_{7}\cdot I_{7-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=4~{\text{V}}.$

Risoluzione dell'esercizio con i partitori di tensione

${\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}\cdot {\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}}}\\&=45~{\text{V}}\cdot {\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=18~{\text{V}},\end{aligned}}$

$V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}},$

$V_{7}=V_{BC}{\frac {R_{7}}{R_{7}+R_{8}}}=12~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{V}}.$

Esercizio 8

Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su $R_{6}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$36~{\text{V}}$
$R_{1}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{4}$	$500~\Omega$
$R_{5}$	$5~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$6~{\text{k}}\Omega$
$R_{8}$	$3~{\text{k}}\Omega$

Risoluzione dell'esercizio 8

Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$.

Inizialmente, si procede al calcolo del parallelo tra le resistenze $R_{6}$, $R_{7}$ e $R_{8}$. Questo processo può avvenire in due diversi modi: con il calcolo diretto (tramite la formula del parallelo), oppure tramite il calcolo del parallelo a due, a due.

$R_{BC}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{6}}}+{\frac {1}{R_{7}}}+{\frac {1}{R_{8}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}}}={\frac {1}{\frac {3+1+2}{6~{\text{k}}\Omega }}}=1~{\text{k}}\Omega .$

In alternativa, come si è detto, è possibile eseguire il calcolo della $R_{BC}$ per parti:

$R_{78}={\frac {R_{7}\cdot R_{8}}{R_{7}+R_{8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

$R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{78}}{R_{6}+R_{78}}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{k}}\Omega .$

Ora, $R_{5}$ e $R_{BC}$ sono in serie, pertanto:

$R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=5~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega .$

Calcolando il parallelo tra $R_{3}$ e $R_{5-8}$ si ottengono solo resistenze in serie:

$R_{AC}={\frac {R_{3}\cdot R_{5-8}}{R_{3}+R_{5-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$

pertanto, la resistenza totale $R_{T}$ è pari a:

$R_{T}=R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}=1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega .$

La corrente totale $I_{TOT}$ è pari a:

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{T}}}={\frac {36~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.$

La tensione tra i nodi $A$ e $C$ è pari a:

$V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}.$

A questo punto è possibile calcolare la corrente che attraversa la resistenza $R_{5-8}$:

$I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}.$

Di conseguenza, la tensione che cade ai capi dei nodi $B$ e $C$ è pari a:

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=2~{\text{V}}.$

Pertanto, la corrente circolante nella resistenza $R_{6}$ è:

$I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {2~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{mA}}.$

Risoluzione dell'esercizio 8 col metodo dei partitori di tensione

I partitori di tensione consentono di accorpare due, o più, calcoli rendendo più snella la risoluzione dell'esercizio.

In alternativa, la tensione ai capi del nodo $AC$, può essere ottenuta dalla formula del partitore di tensione, la quale sostituisce quelle utilizzate per il calcolo di $R_{T}$, $I_{TOT}$ e – naturalmente – $V_{AC}$ stessa:

${\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}}}\\&=36~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=12~{\text{V}}\end{aligned}}.$

Di conseguenza, la tensione ai capi dei nodi $B$ e $C$ (e, delle resistenze a essi connesse) sarà pari a:

$V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5-8}}}=12~{\text{V}}{\frac {1~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{V}},$

espressione che sostituisce i successivi due calcoli.

Pertanto, la corrente circolante su $R_{6}$ si ottiene con la medesima formula del caso precedente.

Come si può notare, questa procedura consente di ottenere la soluzione dell'esercizio con un passaggio, anziché due, per ogni partitore. Che diventano uno, invece che tre, nel primo caso.

Esercizio 9

Dato il circuito di figura determinare la tensione sulla resistenza $R_{10}$.

Legenda

Grandezza	Valore
$V_{G}$	$60~{\text{V}}$
$R_{1}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{2}$	$1,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{3}$	$500~\Omega$
$R_{4}$	$500~\Omega$
$R_{5}$	$5,5~{\text{k}}\Omega$
$R_{6}$	$1~{\text{k}}\Omega$
$R_{7}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{8}$	$5~{\text{k}}\Omega$
$R_{9}$	$2~{\text{k}}\Omega$
$R_{10}$	$3~{\text{k}}\Omega$
$R_{11}$	$500~\Omega$
$R_{12}$	$2~{\text{k}}\Omega$

Risoluzione dell'esercizio 9

Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$.

$R_{9,10}=R_{9}+R_{10}=2~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega$

$R_{BC}={\frac {R_{8}\cdot R_{9,10}}{R_{8}+R_{9,10}}}={\frac {5~{\text{k}}\Omega \cdot 5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega }}=2,5~{\text{k}}\Omega$

$R_{6,11}=R_{6}+R_{7}+R_{BC}+R_{11}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega$

$R_{4,5}=R_{4}+R_{5}=500~\Omega +5,5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega$

$R_{AD}={\frac {R_{4,5}\cdot R_{6,11}}{R_{4,5}+R_{6,11}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{k}}\Omega$

Da sottolineare che i due calcoli delle resistenze in parallelo, trattandosi di resistenze di ugual valore, potevano essere svolti con la formula $R_{eq}=R/2$.

$R_{TOT}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}=3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =10~{\text{k}}\Omega$.

A questo punto, la corrente totale erogata dal circuito è pari a:

$I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {60~{\text{V}}}{10~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$,

da cui si evince la caduta di tensione ai capi dei nodi $AD$:

$V_{AD}=R_{AD}\cdot I_{TOT}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=18~{\text{V}}$.

È ora possibile calcolare la corrente nel ramo che attraversa la resistenza $R_{6,11}$:

$I_{6,11}={\frac {V_{AD}}{R_{6,11}}}={\frac {18~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{mA}}$.

Questo valore poteva essere facilmente calcolato ricordando che le resistenze $R_{4,5}$ e $R_{6,11}$ sono uguali, pertanto ripartiscono la corrente in due parti uguali.

Quindi, la tensione ai capi dei nodi $BC$ è pari a:

$V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{6,11}=2,5~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{mA}}=7,5~{\text{V}}$.

La corrente che attraversa la resistenza $R_{9,10}$ è pari a:

$I_{9,10}={\frac {V_{BC}}{R_{9,10}}}={\frac {7,5~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{mA}}$,

ovvero la metà di $I_{6,11}$, come nel caso precedente.

Infine, la tensione che cade sulla resistenza $R_{10}$ vale:

$V_{R_{10}}=R_{10}\cdot I_{9,10}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 1,5~{\text{mA}}=4,5~{\text{V}}$.

Risoluzione dell'esercizio 9 col metodo dei partitori di tensione

Come visto in precedenza, i calcoli comunque necessari, sono quelli iniziali a esclusione di $R_{TOT}$ in avanti. A questo punto, infatti (avendo solo resistenze in serie) è possibile calcolare direttamente $V_{AD}$:

$V_{AD}=V_{G}{\frac {R_{AD}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}}}=60~{\text{V}}{\frac {3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}$.

Il secondo passaggio è:

$V_{BC}=V_{AD}{\frac {R_{BC}}{R_{AD}}}=18~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega }}=7,5~{\text{V}}$.

Infine, il risultato cercato, è dato da:

$V_{R_{10}}=V_{BC}{\frac {R_{10}}{R_{9,10}}}=7,5~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega }}=4,5~{\text{V}}$.