Di seguito verranno proposti e risolti – con differenti approcci – alcuni semplici esercizi relativi alle reti elettriche resistive in corrente continua.
Concetti propedeutici [ modifica ]
Prerequisiti fondamentali per la risoluzione degli esercizi che seguono sono la conoscenza della Legge di Ohm , dei Principi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie e – naturalmente – del concetto di resistenze elettriche in serie e in parallelo.
La Legge di Ohm recita che la tensione
V
{\displaystyle V}
(si misura in Volt simbolo
V
{\displaystyle V}
) è pari alla resistenza
R
{\displaystyle R}
(si misura in Ohm simbolo
Ω
{\displaystyle \Omega }
) moltiplicata per l'intensità di corrente
I
{\displaystyle I}
(si misura in Ampere simbolo
A
{\displaystyle A}
). Pertanto si ha:
V
=
R
⋅
I
;
R
=
V
I
;
I
=
V
R
{\displaystyle V=R\cdot I\quad ;\quad R={\frac {V}{I}}\quad ;\quad I={\frac {V}{R}}}
.
Primo principio di Kirchhoff [ modifica ]
Primo principio di Kirchhoff.
Il primo principio di Kirchhoff (noto anche come legge di Kirchhoff applicata ai nodi) dice che la somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla. Più semplicemente: la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti dal nodo stesso, come mostrato in figura.
∑
i
=
1
n
I
i
⏞
entranti
=
∑
k
=
1
m
I
k
⏞
uscenti
{\displaystyle \overbrace {\sum _{i=1}^{n}I_{i}} ^{\text{entranti}}=\overbrace {\sum _{k=1}^{m}I_{k}} ^{\text{uscenti}}}
,
nel caso specifico di figura, si ottiene:
I
2
+
I
3
=
I
1
+
I
4
{\displaystyle I_{2}+I_{3}=I_{1}+I_{4}}
.
Secondo principio di Kirchhoff [ modifica ]
Secondo principio di Kirchhoff.
Il secondo principio di Kirchhoff (noto anche come legge di Kirchhoff applicata alle maglie) dice che la somma algebrica delle cadute di tensione in una maglia è nulla. Più semplicemente: in una maglia, la somma delle tensioni generate è pari alla somma delle cadute di tensione, come mostrato in figura.
∑
i
=
1
n
V
i
⏞
generatori
=
∑
k
=
1
m
V
k
⏞
carichi
{\displaystyle \overbrace {\sum _{i=1}^{n}V_{i}} ^{\text{generatori}}=\overbrace {\sum _{k=1}^{m}V_{k}} ^{\text{carichi}}}
,
nel caso specifico di figura, si ottiene:
V
4
=
V
1
+
V
2
+
V
3
{\displaystyle V_{4}=V_{1}+V_{2}+V_{3}}
.
Resistenze in serie [ modifica ]
Due, o più, resistenze si dicono in serie quando sono attraversate dalla stessa corrente. In questo caso, la resistenza equivalente è pari alla loro somma:
R
e
q
=
∑
i
=
1
n
R
i
=
R
1
+
R
2
+
R
3
+
⋯
+
R
n
{\displaystyle R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\dots +R_{n}}
.
Se le resistenze sono tutte uguali, si ha:
R
e
q
=
∑
i
=
1
n
R
=
R
+
R
+
R
+
⋯
+
R
=
n
R
{\displaystyle R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R=R+R+R+\dots +R=nR}
.
Resistenze in parallelo [ modifica ]
Due, o più, resistenze si dicono in parallelo quando sono sottoposte alla stessa tensione. In questo caso, l'inverso della resistenza equivalente è pari alla somma dell'inverso di tutte le resistenze:
1
R
e
q
=
∑
1
=
1
n
1
R
i
=
1
R
1
+
1
R
2
+
1
R
3
+
⋯
+
1
R
n
{\displaystyle {\frac {1}{R_{eq}}}=\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}}
;
pertanto, la resistenza equivalente è pari a:
R
e
q
=
1
∑
1
=
1
n
1
R
i
=
1
1
R
1
+
1
R
2
+
1
R
3
+
⋯
+
1
R
n
{\displaystyle R_{eq}={\frac {1}{\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}}}}
.
Se le resistenze sono tutte uguali, si ha:
R
e
q
=
1
∑
1
=
1
n
1
R
=
1
1
R
+
1
R
+
1
R
+
⋯
+
1
R
=
1
n
R
=
R
n
{\displaystyle R_{eq}={\frac {1}{\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R}}+\dots +{\frac {1}{R}}}}={\frac {1}{\frac {n}{R}}}={\frac {R}{n}}}
.
Infine, un caso di interesse, è quando le resistenze in parallelo sono soltanto due. In questo caso si ha:
R
e
q
=
1
1
R
1
+
1
R
2
=
1
R
1
+
R
2
R
1
⋅
R
2
=
R
1
⋅
R
2
R
1
+
R
2
{\displaystyle R_{eq}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}={\frac {1}{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}\cdot R_{2}}}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}
.
Un dispositivo mobile ha una batteria da
3
,
3
V
{\displaystyle 3,3~{\text{V}}}
e
2.600
mAh
{\displaystyle 2.600~{\text{mAh}}}
. Il suo caricatore ha un'uscita da
5
V
{\displaystyle 5~{\text{V}}}
e
2
A
{\displaystyle 2~{\text{A}}}
(la tensione del caricatore è superiore a quella del dispositivo mobile per motivi che verranno chiariti in seguito).
Calcolare il tempo di carica; la resistenza equivalente del dispositivo in stand by se – per ipotesi – dopo tre giorni il dispositivo è completamente scarico; la resistenza equivalente del dispositivo quando si cercano i Pokémon e la batteria si scarica dopo 50'.
Il tempo di carica è pari a:
t
c
a
r
i
c
a
=
I
t
o
t
a
l
e
⋅
T
t
o
t
I
c
a
r
i
c
a
=
2.600
mAh
2
A
=
2
,
6
Ah
2
A
=
1
,
3
h
=
1
h
18
′
.
{\displaystyle t_{carica}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{I_{carica}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{2~{\text{A}}}}={\frac {2,6~{\text{Ah}}}{2~{\text{A}}}}=1,3~{\text{h}}=1~{\text{h}}~18'.}
La durata della batteria in stand by si ottiene calcolando, prima il flusso di corrente in tali condizioni e – a seguire – il tempo di scarica.
I
s
t
a
n
d
b
y
=
I
t
o
t
a
l
e
⋅
T
t
o
t
T
s
t
a
n
d
b
y
=
2.600
mAh
3
gg
=
2.600
mAh
72
h
≃
36
,
11
mA
,
{\displaystyle I_{stand~by}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{T_{stand~by}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{3~{\text{gg}}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{72~{\text{h}}}}\simeq 36,11~{\text{mA}},}
R
s
t
a
n
d
b
y
=
V
I
s
t
a
n
d
b
y
=
3
,
3
V
36
,
11
mA
=
91
,
4
Ω
.
{\displaystyle R_{stand~by}={\frac {V}{I_{stand~by}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{36,11~{\text{mA}}}}=91,4~\Omega .}
Giocando con i Pokemon, attività che richiede al dispositivo più energia, la durata della batteria diminuisce (come mostrato dai dati del problema), di conseguenza ci si aspetta che la corrente istantanea aumenti e diminuisca la resistenza equivalente.
I
P
o
k
e
m
o
n
=
I
t
o
t
a
l
e
⋅
T
t
o
t
T
P
o
k
e
m
o
n
=
2.600
mAh
50
′
≃
2.600
mAh
0
,
83
h
≃
3
,
133
A
,
{\displaystyle I_{Pokemon}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{T_{Pokemon}}}={\frac {2.600~{\text{mAh}}}{50'}}\simeq {\frac {2.600~{\text{mAh}}}{0,83~{\text{h}}}}\simeq 3,133~{\text{A}},}
R
P
o
k
e
m
o
n
=
V
I
P
o
k
e
m
o
n
=
3
,
3
V
3
,
133
A
≃
1
Ω
.
{\displaystyle R_{Pokemon}={\frac {V}{I_{Pokemon}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{3,133~{\text{A}}}}\simeq 1~\Omega .}
Un dispositivo mobile richiede un alimentatore stabilizzato (il quale eroghi una tensione continua e stabile) di
5
V
{\displaystyle 5~{\text{V}}}
per caricarsi. Purtroppo, l'alimentatore si è appena rotto. Si hanno a disposizione una batteria da
9
V
{\displaystyle 9~{\text{V}}}
e varie resistenze elettriche.
Quale circuito occorre realizzare per ottenere in uscita una tensione pari a
5
V
{\displaystyle 5~{\text{V}}}
?
Il problema si risolve ricorrendo a un partitore di tensione , circuito ampiamente utilizzato quando si vuole ottenere una frazione della tensione di partenza. È costituito da due (o più) resistenze in serie, le quali ripartiscono la tensione del generatore in due (o più) parti: una da
4
V
{\displaystyle 4~{\text{V}}}
e – la rimanente – da
5
V
{\displaystyle 5~{\text{V}}}
(quella che si desidera in uscita).
La tensione in uscita è, pertanto, pari a:
V
O
U
T
=
R
2
⋅
I
T
O
T
=
R
2
V
G
R
T
O
T
=
R
2
V
G
R
1
+
R
2
=
V
G
R
2
R
1
+
R
2
.
{\displaystyle V_{OUT}=R_{2}\cdot I_{TOT}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{1}+R_{2}}}=V_{G}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}.}
La soluzione più semplice è
4
k
Ω
{\displaystyle 4~{\text{k}}\Omega }
e
5
k
Ω
{\displaystyle 5~{\text{k}}\Omega }
, ma – purtroppo – questi valori non sono in commercio. I valori di resistenza che più si avvicinano a un'uscita di
5
V
{\displaystyle 5~{\text{V}}}
sono
R
1
=
3
,
3
k
Ω
{\displaystyle R_{1}=3,3~{\text{k}}\Omega }
e
R
2
=
4.7
k
Ω
{\displaystyle R_{2}=4.7~{\text{k}}\Omega }
. L'errore commesso – nel calcolo della tensione d'uscita – è di
288
mV
{\displaystyle 288~{\text{mV}}}
, ed essa vale
V
O
U
T
=
5
,
288
V
{\displaystyle V_{OUT}=5,288~{\text{V}}}
.
Lo schema di montaggio del circuito sovrastante, è il seguente:
Dato il circuito in figura determinale la corrente
I
R
3
{\displaystyle I_{R_{3}}}
.
Legenda
Grandezza
Valore
V
G
{\displaystyle V_{G}}
18
V
{\displaystyle 18~{\text{V}}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
R
2
{\displaystyle R_{2}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
R
3
{\displaystyle R_{3}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
4
{\displaystyle R_{4}}
6
k
Ω
{\displaystyle 6~{\text{k}}\Omega }
Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile, seguendo il flusso delle correnti.
Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up , ovvero partendo dalla corrente/tensione che si desidera trovare fino ai termini noti.
I
R
3
=
V
A
B
R
3
=
6
V
3
k
Ω
=
2
mA
{\displaystyle I_{R_{3}}={\frac {V_{AB}}{R_{3}}}={\frac {6~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}}
V
A
B
=
R
A
B
⋅
I
T
O
T
=
1
k
Ω
⋅
6
mA
=
6
V
{\displaystyle V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=6~{\text{V}}}
R
A
B
=
1
1
R
2
+
1
R
3
+
1
R
4
=
1
1
2
k
Ω
+
1
3
k
Ω
+
1
6
k
Ω
=
1
k
Ω
{\displaystyle R_{AB}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{R_{4}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}}}=1~{\text{k}}\Omega }
R
3
,
4
=
R
3
⋅
R
4
R
3
+
R
4
=
3
k
Ω
⋅
6
k
Ω
3
k
Ω
+
6
k
Ω
=
18
M
Ω
2
9
k
Ω
=
2
k
Ω
{\displaystyle R_{3,4}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}={\frac {18~{\text{M}}\Omega ^{2}}{9~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega }
R
A
B
=
R
3
,
4
⋅
R
2
R
3
,
4
+
R
2
=
R
3
,
4
2
=
2
k
Ω
2
=
1
k
Ω
Poiché
R
2
=
R
3
,
4
{\displaystyle R_{AB}={\frac {R_{3,4}\cdot R_{2}}{R_{3,4}+R_{2}}}={\frac {R_{3,4}}{2}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2}}=1~{\text{k}}\Omega \qquad {\text{Poiché }}R_{2}=R_{3,4}}
R
T
O
T
=
R
1
+
R
A
B
=
2
k
Ω
+
1
k
Ω
=
3
k
Ω
{\displaystyle R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=2~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega }
I
T
O
T
=
V
G
R
T
O
T
=
18
V
3
k
Ω
=
6
mA
.
{\displaystyle I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.}
Dato il circuito di Figura determinale la tensione che cade su
R
5
{\displaystyle R_{5}}
.
Legenda
Grandezza
Valore
V
G
{\displaystyle V_{G}}
20
V
{\displaystyle 20~{\text{V}}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
1
,
5
k
Ω
{\displaystyle 1,5~{\text{k}}\Omega }
R
2
{\displaystyle R_{2}}
1
k
Ω
{\displaystyle 1~{\text{k}}\Omega }
R
3
{\displaystyle R_{3}}
1
k
Ω
{\displaystyle 1~{\text{k}}\Omega }
R
4
{\displaystyle R_{4}}
4
k
Ω
{\displaystyle 4~{\text{k}}\Omega }
R
5
{\displaystyle R_{5}}
200
Ω
{\displaystyle 200~\Omega }
Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile.
Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up .
V
R
5
=
R
5
⋅
I
3
−
5
=
200
Ω
⋅
5
mA
=
1
V
{\displaystyle V_{R_{5}}=R_{5}\cdot I_{3-5}=200~\Omega \cdot 5~{\text{mA}}=1~{\text{V}}}
I
3
−
5
=
V
A
C
R
3
−
5
=
5
V
1
k
Ω
=
5
mA
{\displaystyle I_{3-5}={\frac {V_{AC}}{R_{3-5}}}={\frac {5~{\text{V}}}{1~{\text{k}}\Omega }}=5~{\text{mA}}}
V
A
C
=
V
G
−
V
R
1
=
20
V
−
15
V
=
5
V
{\displaystyle V_{AC}=V_{G}-V_{R_{1}}=20~{\text{V}}-15~{\text{V}}=5~{\text{V}}}
R
3
−
5
=
R
A
B
+
R
5
=
800
Ω
+
200
Ω
=
1
k
Ω
{\displaystyle R_{3-5}=R_{AB}+R_{5}=800~\Omega +200~\Omega =1~{\text{k}}\Omega }
R
A
B
=
R
3
⋅
R
4
R
3
+
R
4
=
1
k
Ω
⋅
4
k
Ω
1
k
Ω
+
4
k
Ω
=
800
Ω
{\displaystyle R_{AB}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 4~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=800~\Omega }
V
R
1
=
R
1
⋅
I
T
O
T
=
1
,
5
k
Ω
⋅
10
mA
=
15
V
{\displaystyle V_{R_{1}}=R_{1}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 10~{\text{mA}}=15~{\text{V}}}
I
T
O
T
=
V
G
R
T
O
T
=
20
V
2
k
Ω
=
10
mA
{\displaystyle I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {20~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=10~{\text{mA}}}
R
T
O
T
=
R
1
+
R
A
C
=
1.5
k
Ω
+
500
Ω
=
1
,
5
k
Ω
+
0
,
5
k
Ω
=
2
k
Ω
{\displaystyle R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=1.5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =1,5~{\text{k}}\Omega +0,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega }
R
A
C
=
R
2
⋅
R
3
−
5
R
2
+
R
3
−
5
=
1
k
Ω
⋅
1
k
Ω
1
k
Ω
+
1
k
Ω
=
500
Ω
{\displaystyle R_{AC}={\frac {R_{2}\cdot R_{3-5}}{R_{2}+R_{3-5}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 1~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega }}=500~\Omega }
Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su
R
6
{\displaystyle R_{6}}
.
Legenda
Grandezza
Valore
V
G
{\displaystyle V_{G}}
24
V
{\displaystyle 24~{\text{V}}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
500
Ω
{\displaystyle 500~\Omega }
R
2
{\displaystyle R_{2}}
500
Ω
{\displaystyle 500~\Omega }
R
3
{\displaystyle R_{3}}
2
,
5
k
Ω
{\displaystyle 2,5~{\text{k}}\Omega }
R
4
{\displaystyle R_{4}}
1
k
Ω
{\displaystyle 1~{\text{k}}\Omega }
R
5
{\displaystyle R_{5}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
6
{\displaystyle R_{6}}
6
k
Ω
{\displaystyle 6~{\text{k}}\Omega }
In questo caso si risolverà l'esercizio diversamente dagli esercizi precedenti. Non si ricorrerà alla tecnica top-down/bottom-up . Si procederà al calcolo della resistenza totale e – dopodiché – al calcolo della corrente richiesta.
Di norma, per la risoluzione di un esercizio di questo genere (dopo il calcolo della resistenza totale) sono richiesti un numero di passaggi elementari pari a quelli usati nel corso del calcolo della resistenza totale, a meno che non si ricorra a formule quali partitore di tensione o altro. In questo caso il numero di calcoli necessari potrebbe diminuire.
Calcolo della resistenza totale [ modifica ]
R
B
C
=
R
5
⋅
R
6
R
5
+
R
6
=
3
k
Ω
⋅
6
k
Ω
3
k
Ω
+
6
k
Ω
=
2
k
Ω
{\displaystyle R_{BC}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega }
R
4
−
6
=
R
4
+
R
B
C
=
1
k
Ω
+
2
k
Ω
=
3
k
Ω
{\displaystyle R_{4-6}=R_{4}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega }
R
2
,
3
=
R
2
+
R
3
=
500
Ω
+
2
,
5
k
Ω
=
3
k
Ω
{\displaystyle R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=500~\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega }
R
A
C
=
R
2
,
3
⋅
R
4
−
6
R
2
,
3
+
R
4
−
6
=
3
k
Ω
⋅
3
k
Ω
3
k
Ω
+
3
k
Ω
=
1
,
5
k
Ω
;
R
A
C
=
R
4
−
6
2
=
3
k
Ω
2
=
1
,
5
k
Ω
{\displaystyle R_{AC}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-6}}{R_{2,3}+R_{4-6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{k}}\Omega \quad ;\quad R_{AC}={\frac {R_{4-6}}{2}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega }{2}}=1,5~{\text{k}}\Omega }
R
T
O
T
=
R
1
+
R
A
C
=
500
Ω
+
1
,
5
k
Ω
=
2
k
Ω
{\displaystyle R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega }
Calcolo di
I
R
6
{\displaystyle I_{R_{6}}}
[ modifica ]
A questo punto, partendo dalla corrente totale, si arriverà al dato richiesto. Passo dopo passo.
I
T
O
T
=
V
G
R
T
O
T
=
24
V
2
k
Ω
=
12
mA
{\displaystyle I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {24~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{mA}}}
V
A
C
=
R
A
C
⋅
I
T
O
T
=
1
,
5
k
Ω
⋅
12
mA
=
18
V
{\displaystyle V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 12~{\text{mA}}=18~{\text{V}}}
I
4
−
6
=
V
A
C
R
4
−
6
=
18
V
3
k
Ω
=
6
mA
{\displaystyle I_{4-6}={\frac {V_{AC}}{R_{4-6}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}}
V
B
C
=
R
B
C
⋅
I
4
−
6
=
2
k
Ω
⋅
6
mA
=
12
V
{\displaystyle V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{4-6}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}}
I
R
6
=
V
B
C
R
6
=
12
V
6
k
Ω
=
2
mA
{\displaystyle I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}}
Risoluzione utilizzando i partitori di tensione [ modifica ]
V
A
C
=
V
G
R
A
C
R
1
+
R
A
C
=
24
V
1
,
5
k
Ω
500
Ω
+
1
,
5
k
Ω
=
18
V
{\displaystyle V_{AC}=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{AC}}}=24~{\text{V}}{\frac {1,5~{\text{k}}\Omega }{500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}}
V
B
C
=
V
A
C
R
B
C
R
4
+
R
B
C
=
18
V
2
k
Ω
1
k
Ω
+
2
k
Ω
=
12
V
{\displaystyle V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{4}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}}
I
R
6
=
V
B
C
R
6
=
12
V
6
k
Ω
=
2
mA
{\displaystyle I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}}
Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su
R
7
{\displaystyle R_{7}}
.
Legenda
Grandezza
Valore
V
G
{\displaystyle V_{G}}
30
V
{\displaystyle 30~{\text{V}}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
2
{\displaystyle R_{2}}
1
k
Ω
{\displaystyle 1~{\text{k}}\Omega }
R
3
{\displaystyle R_{3}}
5
k
Ω
{\displaystyle 5~{\text{k}}\Omega }
R
4
{\displaystyle R_{4}}
750
Ω
{\displaystyle 750~\Omega }
R
5
{\displaystyle R_{5}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
6
{\displaystyle R_{6}}
6
k
Ω
{\displaystyle 6~{\text{k}}\Omega }
R
7
{\displaystyle R_{7}}
250
Ω
{\displaystyle 250~\Omega }
Risoluzione col metodo dell'Esercizio 5 [ modifica ]
R
C
D
=
R
5
⋅
R
6
R
5
+
R
6
=
3
k
Ω
⋅
6
k
Ω
3
k
Ω
+
6
k
Ω
=
2
k
Ω
{\displaystyle R_{CD}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega }
R
4
−
7
=
R
4
+
R
C
D
+
R
7
=
750
Ω
+
2
k
Ω
+
250
Ω
=
3
k
Ω
{\displaystyle R_{4-7}=R_{4}+R_{CD}+R_{7}=750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega =3~{\text{k}}\Omega }
R
2
,
3
=
R
2
+
R
3
=
1
k
Ω
+
5
k
Ω
=
6
k
Ω
{\displaystyle R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=1~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega }
R
A
B
=
R
2
,
3
⋅
R
4
−
7
R
2
,
3
+
R
4
−
7
=
6
k
Ω
⋅
3
k
Ω
6
k
Ω
+
3
k
Ω
=
2
k
Ω
{\displaystyle R_{AB}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-7}}{R_{2,3}+R_{4-7}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega }
R
T
O
T
=
R
1
+
R
A
B
=
3
k
Ω
+
2
k
Ω
=
5
k
Ω
{\displaystyle R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega }
I
T
O
T
=
V
G
R
T
O
T
=
30
V
5
k
Ω
=
6
mA
{\displaystyle I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {30~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}}
V
A
B
=
R
A
B
⋅
I
T
O
T
=
2
k
Ω
⋅
6
mA
=
12
V
{\displaystyle V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}}
I
4
−
7
=
V
A
B
R
4
−
7
=
12
V
3
k
Ω
=
4
mA
{\displaystyle I_{4-7}={\frac {V_{AB}}{R_{4-7}}}={\frac {12~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{mA}}}
V
R
7
=
R
7
⋅
I
4
−
7
=
250
Ω
⋅
4
mA
=
1
V
{\displaystyle V_{R_{7}}=R_{7}\cdot I_{4-7}=250~\Omega \cdot 4~{\text{mA}}=1~{\text{V}}}
Risoluzione utilizzando i partitori di tensione [ modifica ]
V
A
B
=
V
G
R
A
B
R
1
+
R
A
B
=
30
V
2
k
Ω
3
k
Ω
+
2
k
Ω
=
12
V
{\displaystyle V_{AB}=V_{G}{\frac {R_{AB}}{R_{1}+R_{AB}}}=30~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}}
V
R
7
=
V
A
B
R
7
R
4
+
R
C
D
+
R
7
=
12
V
250
Ω
750
Ω
+
2
k
Ω
+
250
Ω
=
1
V
{\displaystyle V_{R_{7}}=V_{AB}{\frac {R_{7}}{R_{4}+R_{CD}+R_{7}}}=12~{\text{V}}{\frac {250~\Omega }{750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega }}=1~{\text{V}}}
Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su
R
7
{\displaystyle R_{7}}
.
Legenda
Grandezza
Valore
V
G
{\displaystyle V_{G}}
45
V
{\displaystyle 45~{\text{V}}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
1
k
Ω
{\displaystyle 1~{\text{k}}\Omega }
R
2
{\displaystyle R_{2}}
1
,
5
k
Ω
{\displaystyle 1,5~{\text{k}}\Omega }
R
3
{\displaystyle R_{3}}
500
Ω
{\displaystyle 500~\Omega }
R
4
{\displaystyle R_{4}}
6
k
Ω
{\displaystyle 6~{\text{k}}\Omega }
R
5
{\displaystyle R_{5}}
1
k
Ω
{\displaystyle 1~{\text{k}}\Omega }
R
6
{\displaystyle R_{6}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
7
{\displaystyle R_{7}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
R
8
{\displaystyle R_{8}}
4
k
Ω
{\displaystyle 4~{\text{k}}\Omega }
Risoluzione dell'esercizio 7 [ modifica ]
Si procede con il calcolo della resistenza totale
R
T
O
T
{\displaystyle R_{TOT}}
:
R
7
−
8
=
R
7
+
R
8
=
2
k
Ω
+
4
k
Ω
=
6
k
Ω
,
{\displaystyle R_{7-8}=R_{7}+R_{8}=2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega ,}
R
B
C
=
R
6
⋅
R
7
−
8
R
6
+
R
7
−
8
=
3
k
Ω
⋅
6
k
Ω
3
k
Ω
+
6
k
Ω
=
2
k
Ω
,
{\displaystyle R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{7-8}}{R_{6}+R_{7-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,}
R
5
−
8
=
R
5
+
R
B
C
=
1
k
Ω
+
2
k
Ω
=
3
k
Ω
,
{\displaystyle R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega ,}
R
A
C
=
R
4
⋅
R
5
−
8
R
4
+
R
5
−
8
=
6
k
Ω
⋅
3
k
Ω
6
k
Ω
+
3
k
Ω
=
2
k
Ω
,
{\displaystyle R_{AC}={\frac {R_{4}\cdot R_{5-8}}{R_{4}+R_{5-8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,}
R
T
O
T
=
R
1
+
R
3
+
R
A
C
+
R
2
=
1
k
Ω
+
1
,
5
k
Ω
+
2
k
Ω
+
500
Ω
=
5
k
Ω
.
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{TOT}&=R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}\\&=1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =5~{\text{k}}\Omega .\end{aligned}}}
I
T
O
T
=
V
G
R
T
O
T
=
45
V
5
k
Ω
=
9
mA
,
{\displaystyle I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {45~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=9~{\text{mA}},}
V
A
C
=
R
A
C
⋅
I
T
O
T
=
2
k
Ω
⋅
9
mA
=
18
V
,
{\displaystyle V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 9~{\text{mA}}=18~{\text{V}},}
I
5
−
8
=
V
A
C
R
5
−
8
=
18
V
3
k
Ω
=
6
mA
,
{\displaystyle I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}},}
V
B
C
=
R
B
C
⋅
I
5
−
8
=
2
k
Ω
⋅
6
mA
=
12
V
,
{\displaystyle V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}},}
I
7
−
8
=
V
B
C
R
7
−
8
=
12
V
6
k
Ω
=
2
mA
,
{\displaystyle I_{7-8}={\frac {V_{BC}}{R_{7-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}},}
V
7
=
R
7
⋅
I
7
−
8
=
2
k
Ω
⋅
2
mA
=
4
V
.
{\displaystyle V_{7}=R_{7}\cdot I_{7-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=4~{\text{V}}.}
Risoluzione dell'esercizio con i partitori di tensione [ modifica ]
V
A
C
=
V
G
⋅
R
A
C
R
1
+
R
3
+
R
A
C
+
R
2
=
45
V
⋅
2
k
Ω
1
k
Ω
+
1
,
5
k
Ω
+
2
k
Ω
+
500
Ω
=
18
V
,
{\displaystyle {\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}\cdot {\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}}}\\&=45~{\text{V}}\cdot {\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=18~{\text{V}},\end{aligned}}}
V
B
C
=
V
A
C
R
B
C
R
5
+
R
B
C
=
18
V
2
k
Ω
1
k
Ω
+
2
k
Ω
=
12
V
,
{\displaystyle V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}},}
V
7
=
V
B
C
R
7
R
7
+
R
8
=
12
V
2
k
Ω
2
k
Ω
+
4
k
Ω
=
4
V
.
{\displaystyle V_{7}=V_{BC}{\frac {R_{7}}{R_{7}+R_{8}}}=12~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{V}}.}
Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su
R
6
{\displaystyle R_{6}}
.
Legenda
Grandezza
Valore
V
G
{\displaystyle V_{G}}
36
V
{\displaystyle 36~{\text{V}}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
1
,
5
k
Ω
{\displaystyle 1,5~{\text{k}}\Omega }
R
2
{\displaystyle R_{2}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
R
3
{\displaystyle R_{3}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
4
{\displaystyle R_{4}}
500
Ω
{\displaystyle 500~\Omega }
R
5
{\displaystyle R_{5}}
5
k
Ω
{\displaystyle 5~{\text{k}}\Omega }
R
6
{\displaystyle R_{6}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
R
7
{\displaystyle R_{7}}
6
k
Ω
{\displaystyle 6~{\text{k}}\Omega }
R
8
{\displaystyle R_{8}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
Risoluzione dell'esercizio 8 [ modifica ]
Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale
R
T
O
T
{\displaystyle R_{TOT}}
.
Inizialmente, si procede al calcolo del parallelo tra le resistenze
R
6
{\displaystyle R_{6}}
,
R
7
{\displaystyle R_{7}}
e
R
8
{\displaystyle R_{8}}
. Questo processo può avvenire in due diversi modi: con il calcolo diretto (tramite la formula del parallelo), oppure tramite il calcolo del parallelo a due, a due.
R
B
C
=
1
1
R
6
+
1
R
7
+
1
R
8
=
1
1
2
k
Ω
+
1
6
k
Ω
+
1
3
k
Ω
=
1
3
+
1
+
2
6
k
Ω
=
1
k
Ω
.
{\displaystyle R_{BC}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{6}}}+{\frac {1}{R_{7}}}+{\frac {1}{R_{8}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}}}={\frac {1}{\frac {3+1+2}{6~{\text{k}}\Omega }}}=1~{\text{k}}\Omega .}
In alternativa, come si è detto, è possibile eseguire il calcolo della
R
B
C
{\displaystyle R_{BC}}
per parti:
R
78
=
R
7
⋅
R
8
R
7
+
R
8
=
6
k
Ω
⋅
3
k
Ω
6
k
Ω
+
3
k
Ω
=
2
k
Ω
,
{\displaystyle R_{78}={\frac {R_{7}\cdot R_{8}}{R_{7}+R_{8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,}
R
B
C
=
R
6
⋅
R
78
R
6
+
R
78
=
2
k
Ω
⋅
2
k
Ω
2
k
Ω
+
2
k
Ω
=
1
k
Ω
.
{\displaystyle R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{78}}{R_{6}+R_{78}}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{k}}\Omega .}
Ora,
R
5
{\displaystyle R_{5}}
e
R
B
C
{\displaystyle R_{BC}}
sono in serie, pertanto:
R
5
−
8
=
R
5
+
R
B
C
=
5
k
Ω
+
1
k
Ω
=
6
k
Ω
.
{\displaystyle R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=5~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega .}
Calcolando il parallelo tra
R
3
{\displaystyle R_{3}}
e
R
5
−
8
{\displaystyle R_{5-8}}
si ottengono solo resistenze in serie:
R
A
C
=
R
3
⋅
R
5
−
8
R
3
+
R
5
−
8
=
3
k
Ω
⋅
6
k
Ω
3
k
Ω
+
6
k
Ω
=
2
k
Ω
,
{\displaystyle R_{AC}={\frac {R_{3}\cdot R_{5-8}}{R_{3}+R_{5-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,}
pertanto, la resistenza totale
R
T
{\displaystyle R_{T}}
è pari a:
R
T
=
R
1
+
R
2
+
R
A
C
+
R
4
=
1
,
5
k
Ω
+
2
k
Ω
+
2
k
Ω
+
500
Ω
=
6
k
Ω
.
{\displaystyle R_{T}=R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}=1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega .}
La corrente totale
I
T
O
T
{\displaystyle I_{TOT}}
è pari a:
I
T
O
T
=
V
G
R
T
=
36
V
6
k
Ω
=
6
mA
.
{\displaystyle I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{T}}}={\frac {36~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.}
La tensione tra i nodi
A
{\displaystyle A}
e
C
{\displaystyle C}
è pari a:
V
A
C
=
R
A
C
⋅
I
T
O
T
=
2
k
Ω
⋅
6
mA
=
12
V
.
{\displaystyle V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}.}
A questo punto è possibile calcolare la corrente che attraversa la resistenza
R
5
−
8
{\displaystyle R_{5-8}}
:
I
5
−
8
=
V
A
C
R
5
−
8
=
12
V
6
k
Ω
=
2
mA
.
{\displaystyle I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}.}
Di conseguenza, la tensione che cade ai capi dei nodi
B
{\displaystyle B}
e
C
{\displaystyle C}
è pari a:
V
B
C
=
R
B
C
⋅
I
5
−
8
=
1
k
Ω
⋅
2
mA
=
2
V
.
{\displaystyle V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=2~{\text{V}}.}
Pertanto, la corrente circolante nella resistenza
R
6
{\displaystyle R_{6}}
è:
I
R
6
=
V
B
C
R
6
=
2
V
2
k
Ω
=
1
mA
.
{\displaystyle I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {2~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{mA}}.}
Risoluzione dell'esercizio 8 col metodo dei partitori di tensione [ modifica ]
I partitori di tensione consentono di accorpare due, o più, calcoli rendendo più snella la risoluzione dell'esercizio.
In alternativa, la tensione ai capi del nodo
A
C
{\displaystyle AC}
, può essere ottenuta dalla formula del partitore di tensione, la quale sostituisce quelle utilizzate per il calcolo di
R
T
{\displaystyle R_{T}}
,
I
T
O
T
{\displaystyle I_{TOT}}
e – naturalmente –
V
A
C
{\displaystyle V_{AC}}
stessa:
V
A
C
=
V
G
R
A
C
R
1
+
R
2
+
R
A
C
+
R
4
=
36
V
2
k
Ω
1
,
5
k
Ω
+
2
k
Ω
+
2
k
Ω
+
500
Ω
=
12
V
.
{\displaystyle {\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}}}\\&=36~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=12~{\text{V}}\end{aligned}}.}
Di conseguenza, la tensione ai capi dei nodi
B
{\displaystyle B}
e
C
{\displaystyle C}
(e, delle resistenze a essi connesse) sarà pari a:
V
B
C
=
V
A
C
R
B
C
R
5
−
8
=
12
V
1
k
Ω
6
k
Ω
=
2
V
,
{\displaystyle V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5-8}}}=12~{\text{V}}{\frac {1~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{V}},}
espressione che sostituisce i successivi due calcoli.
Pertanto, la corrente circolante su
R
6
{\displaystyle R_{6}}
si ottiene con la medesima formula del caso precedente.
Come si può notare, questa procedura consente di ottenere la soluzione dell'esercizio con un passaggio, anziché due, per ogni partitore. Che diventano uno, invece che tre, nel primo caso.
Dato il circuito di figura determinare la tensione sulla resistenza
R
10
{\displaystyle R_{10}}
.
Legenda
Grandezza
Valore
V
G
{\displaystyle V_{G}}
60
V
{\displaystyle 60~{\text{V}}}
R
1
{\displaystyle R_{1}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
2
{\displaystyle R_{2}}
1
,
5
k
Ω
{\displaystyle 1,5~{\text{k}}\Omega }
R
3
{\displaystyle R_{3}}
500
Ω
{\displaystyle 500~\Omega }
R
4
{\displaystyle R_{4}}
500
Ω
{\displaystyle 500~\Omega }
R
5
{\displaystyle R_{5}}
5
,
5
k
Ω
{\displaystyle 5,5~{\text{k}}\Omega }
R
6
{\displaystyle R_{6}}
1
k
Ω
{\displaystyle 1~{\text{k}}\Omega }
R
7
{\displaystyle R_{7}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
R
8
{\displaystyle R_{8}}
5
k
Ω
{\displaystyle 5~{\text{k}}\Omega }
R
9
{\displaystyle R_{9}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
R
10
{\displaystyle R_{10}}
3
k
Ω
{\displaystyle 3~{\text{k}}\Omega }
R
11
{\displaystyle R_{11}}
500
Ω
{\displaystyle 500~\Omega }
R
12
{\displaystyle R_{12}}
2
k
Ω
{\displaystyle 2~{\text{k}}\Omega }
Risoluzione dell'esercizio 9 [ modifica ]
Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale
R
T
O
T
{\displaystyle R_{TOT}}
.
R
9
,
10
=
R
9
+
R
10
=
2
k
Ω
+
3
k
Ω
=
5
k
Ω
{\displaystyle R_{9,10}=R_{9}+R_{10}=2~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega }
R
B
C
=
R
8
⋅
R
9
,
10
R
8
+
R
9
,
10
=
5
k
Ω
⋅
5
k
Ω
5
k
Ω
+
5
k
Ω
=
2
,
5
k
Ω
{\displaystyle R_{BC}={\frac {R_{8}\cdot R_{9,10}}{R_{8}+R_{9,10}}}={\frac {5~{\text{k}}\Omega \cdot 5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega }}=2,5~{\text{k}}\Omega }
R
6
,
11
=
R
6
+
R
7
+
R
B
C
+
R
11
=
1
k
Ω
+
2
k
Ω
+
2
,
5
k
Ω
+
500
Ω
=
6
k
Ω
{\displaystyle R_{6,11}=R_{6}+R_{7}+R_{BC}+R_{11}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega }
R
4
,
5
=
R
4
+
R
5
=
500
Ω
+
5
,
5
k
Ω
=
6
k
Ω
{\displaystyle R_{4,5}=R_{4}+R_{5}=500~\Omega +5,5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega }
R
A
D
=
R
4
,
5
⋅
R
6
,
11
R
4
,
5
+
R
6
,
11
=
6
k
Ω
⋅
6
k
Ω
6
k
Ω
+
6
k
Ω
=
3
k
Ω
{\displaystyle R_{AD}={\frac {R_{4,5}\cdot R_{6,11}}{R_{4,5}+R_{6,11}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{k}}\Omega }
Da sottolineare che i due calcoli delle resistenze in parallelo, trattandosi di resistenze di ugual valore, potevano essere svolti con la formula
R
e
q
=
R
/
2
{\displaystyle R_{eq}=R/2}
.
R
T
O
T
=
R
1
+
R
2
+
R
3
+
R
A
D
+
R
12
=
3
k
Ω
+
1
,
5
k
Ω
+
500
Ω
+
3
k
Ω
+
2
k
Ω
=
10
k
Ω
{\displaystyle R_{TOT}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}=3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =10~{\text{k}}\Omega }
.
A questo punto, la corrente totale erogata dal circuito è pari a:
I
T
O
T
=
V
G
R
T
O
T
=
60
V
10
k
Ω
=
6
mA
{\displaystyle I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {60~{\text{V}}}{10~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}}
,
da cui si evince la caduta di tensione ai capi dei nodi
A
D
{\displaystyle AD}
:
V
A
D
=
R
A
D
⋅
I
T
O
T
=
3
k
Ω
⋅
6
mA
=
18
V
{\displaystyle V_{AD}=R_{AD}\cdot I_{TOT}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=18~{\text{V}}}
.
È ora possibile calcolare la corrente nel ramo che attraversa la resistenza
R
6
,
11
{\displaystyle R_{6,11}}
:
I
6
,
11
=
V
A
D
R
6
,
11
=
18
V
6
k
Ω
=
3
mA
{\displaystyle I_{6,11}={\frac {V_{AD}}{R_{6,11}}}={\frac {18~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{mA}}}
.
Questo valore poteva essere facilmente calcolato ricordando che le resistenze
R
4
,
5
{\displaystyle R_{4,5}}
e
R
6
,
11
{\displaystyle R_{6,11}}
sono uguali, pertanto ripartiscono la corrente in due parti uguali.
Quindi, la tensione ai capi dei nodi
B
C
{\displaystyle BC}
è pari a:
V
B
C
=
R
B
C
⋅
I
6
,
11
=
2
,
5
k
Ω
⋅
3
mA
=
7
,
5
V
{\displaystyle V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{6,11}=2,5~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{mA}}=7,5~{\text{V}}}
.
La corrente che attraversa la resistenza
R
9
,
10
{\displaystyle R_{9,10}}
è pari a:
I
9
,
10
=
V
B
C
R
9
,
10
=
7
,
5
V
5
k
Ω
=
1
,
5
mA
{\displaystyle I_{9,10}={\frac {V_{BC}}{R_{9,10}}}={\frac {7,5~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{mA}}}
,
ovvero la metà di
I
6
,
11
{\displaystyle I_{6,11}}
, come nel caso precedente.
Infine, la tensione che cade sulla resistenza
R
10
{\displaystyle R_{10}}
vale:
V
R
10
=
R
10
⋅
I
9
,
10
=
3
k
Ω
⋅
1
,
5
mA
=
4
,
5
V
{\displaystyle V_{R_{10}}=R_{10}\cdot I_{9,10}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 1,5~{\text{mA}}=4,5~{\text{V}}}
.
Risoluzione dell'esercizio 9 col metodo dei partitori di tensione [ modifica ]
Come visto in precedenza, i calcoli comunque necessari, sono quelli iniziali a esclusione di
R
T
O
T
{\displaystyle R_{TOT}}
in avanti. A questo punto, infatti (avendo solo resistenze in serie) è possibile calcolare direttamente
V
A
D
{\displaystyle V_{AD}}
:
V
A
D
=
V
G
R
A
D
R
1
+
R
2
+
R
3
+
R
A
D
+
R
12
=
60
V
3
k
Ω
3
k
Ω
+
1
,
5
k
Ω
+
500
Ω
+
3
k
Ω
+
2
k
Ω
=
18
V
{\displaystyle V_{AD}=V_{G}{\frac {R_{AD}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}}}=60~{\text{V}}{\frac {3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}}
.
Il secondo passaggio è:
V
B
C
=
V
A
D
R
B
C
R
A
D
=
18
V
2
,
5
k
Ω
3
k
Ω
=
7
,
5
V
{\displaystyle V_{BC}=V_{AD}{\frac {R_{BC}}{R_{AD}}}=18~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega }}=7,5~{\text{V}}}
.
Infine, il risultato cercato, è dato da:
V
R
10
=
V
B
C
R
10
R
9
,
10
=
7
,
5
V
2
,
5
k
Ω
5
k
Ω
=
4
,
5
V
{\displaystyle V_{R_{10}}=V_{BC}{\frac {R_{10}}{R_{9,10}}}=7,5~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega }}=4,5~{\text{V}}}
.