Utente:Ashoppio/Equazioni

lezione Ashoppio/Equazioni
	Tipo: lezione
	Materia: Matematica per la scuola media 2

Un'equazione è un’uguaglianza che contiene una o più incognite (le variabili, solitamente mostrate con una lettera in script, le più comuni sono $x,y,$ e $z$ .) e che diventa vera solo per determinati valori di queste incognite. L’obiettivo è trovare il valore della variabile che rende vera l’uguaglianza.

Criteri di equivalenza

Quando risolviamo un'equazione, possiamo compiere delle operazioni su entrambi i membri senza cambiare il significato dell'equazione. Queste operazioni ci permettono di trasformare l'equazione in una forma più semplice per trovare la soluzione. I due criteri di equivalenza che usiamo sono:

I criterio, Regola del trasporto

Quando "trasportiamo" un numero o un termine da un lato dell’equazione all’altro, stiamo fondamentalmente cambiando il segno di quel termine. Per esempio, se in un’equazione il numero 5 è sommato a una variabile, lo spostiamo sull’altro lato cambiandolo in -5. Questo avviene perché, muovendo il termine, stiamo implicitamente sottraendolo da entrambi i lati dell’equazione.

Esempio

Considera l’equazione:

$x+5=12$

Utilizzando la regola del trasporto, possiamo spostare il +5 dal lato sinistro al lato destro dell’equazione. Quando lo trasportiamo, il segno cambia, quindi il +5 diventa −5. L’equazione diventa:

$x=+12-5$

Risolvendo, otteniamo:

$x=7$

II° criterio, divisione e moltiplicazione

Il secondo criterio di equivalenza ci dice che se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero, l'equazione rimane equivalente, cioè la soluzione non cambia.

In un'equazione in cui la variabile è moltiplicata per un numero, è possibile trovare il valore della variabile dividendo entrambi i membri per quel numero. Analogamente, se la variabile è divisa per un numero, è possibile isolare la variabile moltiplicando entrambi i membri per lo stesso numero. In entrambi i casi, l'operazione viene applicata in maniera bilaterale, mantenendo l'equilibrio dell'equazione.

Esempi

Considerare l'equazione:

$3x=15$

Dividendo entrambi i membri per $3$ :

${\frac {3x}{3}}={\frac {15}{3}}$

Semplificando:

${\frac {\not 3x}{\cancel {3}}}={\frac {{\cancel {15}}^{5}}{{\cancel {3}}_{1}}}=x=3$

Alternativamente, al posto della divisione si può adoperare la moltiplicazione per una frazione ad entrambi i membri, in questo caso l'equazione diventava:

${\frac {3}{1}}\times 3x=15\times {\frac {3}{1}}$

Esercizi per capire le equazioni

Pratici

Teorici

	$x=4$
	$x=9$
	$x=5$
	$x=-5$

	$x=7$
	$x=3$
	$x=10$
	$x=5$

	$x=6$
	$x=4$
	$x=3$
	$x=12$

	$x=5$
	$x=7$
	$x=4$
	$x=8$

	$x=7$
	$x=2$
	$x=-9$
	$x=9$

	Una disuguaglianza tra due numeri.
	Un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che contiene una o più incognite.
	Un'operazione che coinvolge solo numeri.
	Un'espressione composta esclusivamente da variabili.

	Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso numero di termini.
	Due equazioni sono equivalenti se contengono la stessa variabile.
	Due equazioni sono equivalenti se sono scritte nello stesso ordine.
	Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

	Invertire l'ordine dei termini nell'equazione.
	Dividere entrambi i membri per un numero negativo.
	Sostituire la variabile con il suo valore numerico.
	Spostare un termine da un lato all'altro dell'equazione cambiandone il segno.