Trasformazioni lineari di spazi vettoriali, nucleo, immagine, iniettività e suriettività

Trasformazioni Lineari

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$. Una funzione $t:V\to W$ è detta trasformazione lineare (o applicazione lineare) se soddisfa le seguenti proprietà:

• $\forall \ \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V,\ \ f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\$
• $\forall \ \mathbf {x} \in V,\ k\in \mathbb {R} ,\ \ f(k\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\$

Tipi di Trasformazioni Lineari

Endomorfismo

Una trasformazione lineare $t:V\to V$ ovvero da $V$ a sè stesso è detta endomorfismo.

Isomorfismo

Una trasformazione lineare $t:V\to W$ biunivoca è detta isomorfismo.

Automorfismo

Un trasformazione lineare $t:V\to W$ che sia allo stesso tempo un endomorfismo e un isomorfismo è detta automorfismo.

Nucleo

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ e sia $t:V\to W$ una trasformazione lineare.

Chiamiamo nucleo l'insieme ${\textrm {Ker}}(t)\ =\left\{\mathbf {v} \in V|f(x)=\mathbf {0} \right\}\leq \ V$.

Quindi il nucleo è il sottinsieme di $V$ costituito dai punti che vengono portati dalla trasformazione $t$ nell'elemento neutro di $W$.

In particolare si ha che l'immagine del vettore nullo è il vettore nullo, quindi il nucleo è sempre diverso dall'insieme vuoto.

Immagine

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ e sia $t:V\to W$ una trasformazione lineare.

Chiamiamo immagine l'insieme ${\textrm {Im}}(t)\ =\left\{\mathbf {w} \in W|\exists \mathbf {v} \in V:t(\mathbf {v} )=\mathbf {w} \right\}\leq \ W$.

Quindi l'immagine è il sottinsieme di $W$ costituito di quegli elementi di $W$ per i quali esiste un elemento di $V$ che venga portato in $W$ da $t$.

Come per il nucleo dato che l'immagine del vettore nullo è lo stesso vettore nullo, l'immagine è sempre diversa dall'insieme vuoto.