Trasformazioni lineari di spazi vettoriali, nucleo, immagine, iniettività e suriettività

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lezione
Trasformazioni lineari di spazi vettoriali, nucleo, immagine, iniettività e suriettività
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare


Trasformazioni Lineari[modifica]

Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo . Una funzione è detta trasformazione lineare (o applicazione lineare) se soddisfa le seguenti proprietà:

Tipi di Trasformazioni Lineari[modifica]

Endomorfismo[modifica]

Una trasformazione lineare ovvero da a sè stesso è detta endomorfismo.

Esempi[modifica]

Isomorfismo[modifica]

Una trasformazione lineare biunivoca è detta isomorfismo.

Esempi[modifica]

Automorfismo[modifica]

Un trasformazione lineare che sia allo stesso tempo un endomorfismo e un isomorfismo è detta automorfismo.

Esempi[modifica]

Nucleo[modifica]

Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo e sia una trasformazione lineare.

Chiamiamo nucleo l'insieme .

Quindi il nucleo è il sottinsieme di costituito dai punti che vengono portati dalla trasformazione nell'elemento neutro di .

In particolare si ha che l'immagine del vettore nullo è il vettore nullo, quindi il nucleo è sempre diverso dall'insieme vuoto.

Immagine[modifica]

Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo e sia una trasformazione lineare.

Chiamiamo immagine l'insieme .

Quindi l'immagine è il sottinsieme di costituito di quegli elementi di per i quali esiste un elemento di che venga portato in da .

Come per il nucleo dato che l'immagine del vettore nullo è lo stesso vettore nullo, l'immagine è sempre diversa dall'insieme vuoto.