Oscillatore armonico (meccanica quantistica): differenze tra le versioni
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Versione delle 09:01, 4 feb 2015
Meccanica quantistica > Oscillatore armonico (meccanica quantistica)
Introduzione
In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si stratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.
In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, il suo momento, la sua massa e la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondete in meccanica quantistica è quello di una particella di massa , con Hamiltoniana
con la coordinata e il momento legate dalla relazione
Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana
Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:
Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione , e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo
Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di applicando un particolare operatore ad uno di essi.
Poniamo:
Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:
Ponendo , si ricava[1]:
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).
Se è un autovettore di , appartenente all'autovalore , allora:
- Se è un vettore non nullo di norma ed è un autovettore di appartenente all'autovalore
- è sempre un vettore non nullo di norma ed è un autovettore di appartenente all'autovalore
Dalla definizione di norma sul nostro spazio di Hilbert ricaviamo:
In uno spazio di Hilbert, la norma di un vettore è non negativa, ed è uguale a 0 se e solo se si tratta del vettore nullo; questa proprietà è garantita se e solo
È ovvio che nel caso in cui , il vettore coincide col vettore nullo. Inoltre troviamo:
Sia ora ; possiamo applicare il teorema al vettore , appartenente all'autovalore : questo implica . Se , possiamo applicare il teorema al vettore . Iterando questo ragionamento, costruiamo un insieme di autovettori
appartenenti rispettivamente agli autovalori
Note
Bibliografia
- Albert Messiah, Quantum Mechanics, Dover Publications, 1999. ISBN 0-486-40924-4