Oscillatore armonico (meccanica quantistica): differenze tra le versioni
+ contenuto |
+ contenuto |
||
Riga 11: | Riga 11: | ||
con la coordinata <math>q</math> e il momento <math>p</math> legate dalla relazione <center><math>[q,p]=i\hbar.</math></center> |
con la coordinata <math>q</math> e il momento <math>p</math> legate dalla relazione <center><math>[q,p]=i\hbar.</math></center> |
||
==Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana== |
|||
==Problema agli autovalori== |
|||
Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo: |
Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo: |
||
<center><math>H=\frac{\mathcal{H}}{\hbar\omega},\quad Q=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,q,\quad P=\sqrt{\frac{1}{m\hbar\omega}}\,p.</math></center> |
<center><math>H=\frac{\mathcal{H}}{\hbar\omega},\quad Q=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,q,\quad P=\sqrt{\frac{1}{m\hbar\omega}}\,p.</math></center> |
||
Trasformiamo il nostro problema in quello ''equivalente'' di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore |
Trasformiamo il nostro problema in quello ''equivalente'' di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore |
||
<center><math>H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2),\qquad [Q,P]=i.</math></center> |
<center><math>H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2),\qquad [Q,P]=i.</math></center> |
||
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione <math>{Q}</math>, e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo <math>P=-i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}:</math> |
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione <math>\{Q\}</math>, e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo <math>P=-i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}:</math> |
||
<center><math>\frac{1}{2}\left[-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}Q^2}+Q^2\right]\varphi(Q)=\varepsilon \varphi(Q).</math></center> |
<center><math>\frac{1}{2}\left[-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}Q^2}+Q^2\right]\varphi(Q)=\varepsilon \varphi(Q).</math></center> |
||
Riga 30: | Riga 30: | ||
<center><math>H=N+\frac{1}{2},\quad Na=a(N-1),\quad Na^\dagger=a^\dagger(N+1).</math></center> |
<center><math>H=N+\frac{1}{2},\quad Na=a(N-1),\quad Na^\dagger=a^\dagger(N+1).</math></center> |
||
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che |
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano). |
||
{{matematica dimostrazione|Teorema|Caratterizzazione degli autoavalori di <math>N</math>| |
{{matematica dimostrazione|Teorema|Caratterizzazione degli autoavalori di <math>N</math>| |
||
Riga 56: | Riga 56: | ||
Sia ora <math>\nu >0</math>; possiamo applicare il teorema al vettore <math>a|\nu\rangle</math>, appartenente all'autovalore <math>\nu-1</math>: questo implica <math>\nu \ge 1</math>. |
|||
==Note== |
==Note== |
||
<references/> |
<references/> |
Versione delle 13:21, 16 mag 2010
Meccanica quantistica > Oscillatore armonico (meccanica quantistica)
Introduzione
In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si stratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.
In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, il suo momento, la sua massa e la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondete in meccanica quantistica è quello di una particella di massa , con Hamiltoniana
con la coordinata e il momento legate dalla relazione
Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana
Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:
Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione , e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo
Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di applicando un particolare operatore ad uno di essi.
Poniamo:
Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:
Ponendo , si ricava[1]:
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).
Template:Matematica dimostrazione
Sia ora ; possiamo applicare il teorema al vettore , appartenente all'autovalore : questo implica .
Note
Bibliografia
- Albert Messiah, Quantum Mechanics, Dover Publications, 1999. ISBN 0-486-40924-4