Oscillatore armonico (meccanica quantistica): differenze tra le versioni

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Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che è un operatore hermitiano).
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che è un operatore hermitiano).

{{matematica dimostrazione|Teorema|Caratterizzazione degli autoavalori di <math>N</math>|
Se <math>|\nu\rangle</math> è un autovettore di <math>N</math>, appartenente all'autovalore <math>\nu</math>, allora:

# <math>\nu \ge 0;</math>
# <math>\nu = 0 \Rightarrow a |\nu\rangle = 0;</math>
# Se <math>\nu \ne 0,\,|\nu\rangle</math> è un vettore non nullo di norma <math>\nu\langle\nu|\nu\rangle,</math> ed è un autovettore di <math>N</math> appartenente all'autovalore <math>\nu -1;</math>
# <math>a^\dagger|\nu\rangle</math> è ''sempre'' un vettore non nullo di norma <math>(\nu+1)\langle\nu|\nu\rangle,</math> ed è un autovettore di <math>N</math> appartenente all'autovalore <math>\nu +1.</math>|
<!-- dimostrazione -->
Dalla definizione di norma sul nostro spazio di Hilbert ricaviamo:

<math>\|a|\nu\rangle\|^2=\langle\nu|a^\dagger a|\nu\rangle=\langle\nu|N|\nu\rangle=\nu\langle\nu|\nu\rangle;</math>

<math>\|a^\dagger|\nu\rangle\|^2=\langle\nu|a a^\dagger|\nu\rangle=\langle\nu|N+1|\nu\rangle=(\nu+1)\langle\nu|\nu\rangle.</math>

In uno spazio di Hilbert, la norma di un vettore è non negativa, ed è uguale a 0 se e solo se si tratta del vettore nullo; questa proprietà è garantita se e solo <math>\nu\ge 0.</math>

È ovvio che nel caso in cui <math>\nu=0</math>, il vettore <math>a|\nu\rangle</math> coincide col vettore nullo. Inoltre troviamo:

<math>Na|\nu\rangle=a(N-1)|\nu\rangle=(\nu-1)a|\nu\rangle;</math>

<math>Na^\dagger|\nu\rangle=a^\dagger(N+1)|\nu\rangle=(\nu+1)a^\dagger|\nu\rangle.</math>
}}





Versione delle 16:09, 15 mag 2010

Meccanica quantistica > Oscillatore armonico (meccanica quantistica)

Introduzione

In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si stratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.

In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, il suo momento, la sua massa e la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondete in meccanica quantistica è quello di una particella di massa , con Hamiltoniana

con la coordinata e il momento legate dalla relazione

Problema agli autovalori

Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:

Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore

Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione , e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo

Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di applicando un particolare operatore ad uno di essi.

Poniamo:

Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:

Ponendo , si ricava[1]:

Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di (si vede subito che è un operatore hermitiano).

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Note

Bibliografia