Materia:Meccanica quantistica

Questa pagina contiene il testo delle lezioni legate alla materia generale, per una più agevole lettura necessita di essere divisa in lezioni.
Per una lista completa delle materie da suddividere in lezioni, consulta la relativa categoria.

 

Meccanica quantistica

Tutte le lezioni in ordine alfabetico

Aree di riferimento Area di Scienze matematiche, fisiche e naturali

Corsi Questa materia fa parte del Corso di Fisica

Dipartimenti Questa materia non ha ancora un Dipartimento di riferimento.

Presentazione

Questa materia non ha ancora una introduzione.

Programma

Concetti fondamentali Momento angolare Equazione di Schrödinger Teoria delle perturbazioni Atomi Molecole biatomiche

Verifiche d'apprendimento

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma. Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento.

Risorse

Questa materia non contiene ancora risorse per l'approfondimento. Se vuoi, aggiungi tu altre risorse.

• Torna all'area:
  • Scienze matematiche, fisiche e naturali
• Torna al corso:
  • Fisica

Concetti fondamentali

Funzione d'onda

Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda (a valori complessi) $\Psi (q,t)$. Il quadrato del modulo $|\Psi |^{2}={\bar {\Psi }}\Psi$ di tale funzione (dove ${\bar {\Psi }}$ oppure ${\Psi ^{*}}$ indica il complesso coniugato) viene interpretato come probabilità del sistema all'istante $t$ di coordinate $q$ .

Autovalori e autofunzioni

Consideriamo una grandezza fisica $f$ caratteristica di un sistema quantistico. Gli autovalori della grandezza $f$ sono i valori $f_{n}$ che la grandezza può assumere, e le autofunzioni $\Psi _{n}$ sono le funzioni d'onda degli stati in cui $f=f_{n}$.

Operatori

Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza $f$ sono determinati dall'equazione

${\hat {f}}\Psi =f\Psi$

dove ${\hat {f}}$ è l'operatore associato alla grandezza.

Il valore medio di $f$, nello stato descritto dalla funzione d'onda $\Psi$, è

$<f>=\int \Psi ^{*}{\hat {f}}\Psi \,dq$

Spettro discreto

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro discreto:

$\Psi =\sum a_{n}\Psi _{n}\qquad a_{n}=\int \Psi _{n}^{*}\Psi \,dq$

Spettro continuo

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro continuo:

$\Psi (q)=\int a_{f}\Psi _{f}(q)\,df\qquad a_{f}=\int \Psi _{f}^{*}(q)\Psi (q)\,dq$

Operatore impulso

Operatore associato all'impulso (quantità di moto) di una particella:

${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

$[{\hat {p}}_{i},x_{j}]=-i\hbar \delta _{ij}$

Relazioni di indeterminazione:

$\Delta p_{i}\Delta x_{i}\sim \hbar$

Il valore minimo dell'indeterminazione è $\hbar /2$, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

Operatore hamiltoniano

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

${\hat {\mathcal {H}}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici ${\mathcal {E}}_{n}$. A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

$\Psi _{n}(q,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {E}}_{n}t\right)\psi _{n}(q)$

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo ${\mathcal {E}}_{0}$ dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

Matrici

Gli elementi di matrice di una grandezza $f$ sono definiti dallo sviluppo delle funzioni ${\hat {f}}\psi _{n}$ sul sistema ortonormale $\left\{\psi _{n}\right\}$ costituito dalle autofunzioni dell'energia:

$f_{mn}=\int \psi _{m}^{*}{\hat {f}}\psi _{n}\,dq$

Gli elementi diagonali $f_{nn}$ sono i valori medi della grandezza $f$ negli stati $\psi _{n}$

Elementi di matrice dipendenti dal tempo:

$f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega _{mn}t},\qquad \omega _{mn}={\frac {{\mathcal {E}}_{m}-{\mathcal {E}}_{n}}{\hbar }}$