Materia:Logica matematica: differenze tra le versioni
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La logica matematica |
La logica matematica studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, calcolabilità, e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali. Il linguaggio usato dai matematici e dagli informatici può essere formalizzato, in questo modo questi concetti diventano loro stessi oggetti matematici e vengono studiati con le tecniche e la metodologie tipiche della matematica. |
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La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Gödel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church). |
La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Gödel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church). |
Versione delle 21:05, 15 giu 2008
Aree di riferimento
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Corsi
Questa materia fa parte del Corso di Matematica |
Dipartimenti
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Programma
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Questa materia al momento non contiene nessuna lezione. |
Verifiche d'apprendimento
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È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma. Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento. |
Risorse
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La Biblioteca del Dipartimento di Matematica contiene risorse utili per approfondire. Se vuoi, aggiungi tu altre risorse. |
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Presentazione
La logica matematica studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, calcolabilità, e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali. Il linguaggio usato dai matematici e dagli informatici può essere formalizzato, in questo modo questi concetti diventano loro stessi oggetti matematici e vengono studiati con le tecniche e la metodologie tipiche della matematica.
La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Gödel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church).
La logica matematica acquista maturità nella seconda metà del secolo scorso. La teoria degli insiemi e la teoria dei modelli hanno un impetuoso sviluppo che porta alla luce interazioni profonde con parti dell'analisi matematica (teoria ergodica, analisi funzionale) e parti dell'algebra e la geometria.
Questa materia viene seguita dal Dipartimento di Matematica.
Indicazioni per gli studenti
Prerequisiti
Esperienza con la pratica del ragionamento matematico (in matematica vale: prima la pratica e poi la grammatica).
Programma
Incompleto!!! Il capitolo sul calcolo sintattico e quello sulla teoria della calcolabilità si rivolgono agli studenti con interessi fondazionali o in teoria della dimostrazione.
Strumenti minimi di teoria degli insiemi
Ordinali, cardinali, induzione transfinita
Linguaggi del prim'ordine
Le strutture ed i linguaggi del prim'ordine. Termini, formule, insiemi definibili. Enunciati, teorie.
Sottostrutture, sottostrutture elementari. Immersioni parziali, mappe elementari. Il test di Tarski-Vaught il teorema di Löwenheim-Skolem
Esempi: ordini lineari, grafi, algebre booleane, gruppi, anelli, spazi vettoriali, campi.
Calcolo sintattico
Tablaux, teorema di completezza.
Filtri, ultrafiltri e ultraprodotti
Filtri, ultrafiltri, dualità di Stone. Ultraprodotti e teorema di Łoš.
Il teorema di compattezza
Tre dimostrazioni: derivato dal teorema di completezza; usando le costanti di Henkin; usando gli ultraprodotti.
Teoria degli insiemi
Gli assiomi di Zermelo-Fraenkel.
Teoria della calcolabilità
Le funzioni primitive calcolabili, le funzioni calcolabili. Gli insiemi semicalcolabili. Il problema della terminazione.
Materiale di studio
È possibile trovare wikibooks e documenti esterni di logica matematica nella Biblioteca del Dipartimento di Matematica.