Materia:Logica matematica: differenze tra le versioni
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La logica matematica è il settore della matematica che studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, comutabilità e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali. |
La logica matematica è il settore della matematica che studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, comutabilità, e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali. Il linguaggio usato dai matematici e dagli informatici può essere formalizzato, in questo modo concetti apparentemente informali (come definizione, conseguenza logica, computazione) diventano loro stessi oggetti matematici e vengono studiati con le tecniche e la metodologie tipiche della matematica. |
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La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale, si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi, si formalizza il concetto di computazione effettiva. |
La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Goedel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church). |
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La logica matematica acquista maturità nella seconda metà del secolo scorso. La teoria degli insiemi e la teoria dei modelli hanno un impetuoso sviluppo che porta alla luce interazioni profonde con parti dell'analisi matematica (teoria ergodica, analisi funzionale) e parti dell'algebra e la geometria. |
La logica matematica acquista maturità nella seconda metà del secolo scorso. La teoria degli insiemi e la teoria dei modelli hanno un impetuoso sviluppo che porta alla luce interazioni profonde con parti dell'analisi matematica (teoria ergodica, analisi funzionale) e parti dell'algebra e la geometria. |
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==Indicazioni per gli studenti == |
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===Prerequisiti=== |
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Esperienza con la pratica del ragionamento matematico (in matematica si procede dal particolare al generale ovvero: prima la pratica e poi la grammatica). |
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Incompleto!!! |
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==== Strumenti minimi di teoria degli insiemi ==== |
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Ordinali, cardinali. |
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==== Linguaggi del prim'ordine ==== |
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Le strutture ed i linguaggi del prim'ordine. Termini, formule, insiemi definibili. Enunciati, teorie. |
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Sottostrutture, sottostrutture elementari. Immersioni parziali, mappe elementari. Il test di Tarski-Vaught il teorema di Löwenheim-Skolem |
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Esempi: ordini lineari,, grafi, algebre booleane, gruppi, anelli, spazi vettoriali, campi. |
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==== Calcolo sintattico ==== |
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(Per chi ha intersssi fondazionali o in teoria della dimostrazione) Tablaux, teorema di completezza. |
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==== Reticoli, filtri, ultrafiltri e ultraprodotti ==== |
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Filtri, ultrafiltri, dualita di Stone. |
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Ultraprodotti e teorema di Łoš. |
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==== Il teorema di compattezza ==== |
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Tre dimostrazioni: derivato dal teorema di completezza; dimostrato usando le costanti di Henkin (per chi ha saltato il capitolo sul teorema di completezza); con gli ultraprodotti. |
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==== Teoria della calcolabilita ==== |
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Le funzioni primitive calcolabili, le funzioni calcolabili. |
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Gli insiemi semicalcolabili. Il problema della terminazione. |
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== Materiale di studio== |
== Materiale di studio== |
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Versione delle 20:32, 15 giu 2008
Aree di riferimento
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Corsi
Questa materia fa parte del Corso di Matematica |
Dipartimenti
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  Presentazione
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 Programma
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 Verifiche d'apprendimento
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 Risorse
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Presentazione
La logica matematica è il settore della matematica che studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, comutabilità, e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali. Il linguaggio usato dai matematici e dagli informatici può essere formalizzato, in questo modo concetti apparentemente informali (come definizione, conseguenza logica, computazione) diventano loro stessi oggetti matematici e vengono studiati con le tecniche e la metodologie tipiche della matematica.
La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Goedel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church).
La logica matematica acquista maturità nella seconda metà del secolo scorso. La teoria degli insiemi e la teoria dei modelli hanno un impetuoso sviluppo che porta alla luce interazioni profonde con parti dell'analisi matematica (teoria ergodica, analisi funzionale) e parti dell'algebra e la geometria.
Questa materia viene seguita dal Dipartimento di Matematica.
Indicazioni per gli studenti
Prerequisiti
Esperienza con la pratica del ragionamento matematico (in matematica si procede dal particolare al generale ovvero: prima la pratica e poi la grammatica).
Programma
Incompleto!!!
Strumenti minimi di teoria degli insiemi
Ordinali, cardinali.
Linguaggi del prim'ordine
Le strutture ed i linguaggi del prim'ordine. Termini, formule, insiemi definibili. Enunciati, teorie.
Sottostrutture, sottostrutture elementari. Immersioni parziali, mappe elementari. Il test di Tarski-Vaught il teorema di Löwenheim-Skolem
Esempi: ordini lineari,, grafi, algebre booleane, gruppi, anelli, spazi vettoriali, campi.
Calcolo sintattico
(Per chi ha intersssi fondazionali o in teoria della dimostrazione) Tablaux, teorema di completezza.
Reticoli, filtri, ultrafiltri e ultraprodotti
Filtri, ultrafiltri, dualita di Stone.
Ultraprodotti e teorema di Łoš.
Il teorema di compattezza
Tre dimostrazioni: derivato dal teorema di completezza; dimostrato usando le costanti di Henkin (per chi ha saltato il capitolo sul teorema di completezza); con gli ultraprodotti.
Teoria della calcolabilita
Le funzioni primitive calcolabili, le funzioni calcolabili.
Gli insiemi semicalcolabili. Il problema della terminazione.
Materiale di studio
E' possibile trovare wikibooks e documenti esterni di logica matematica nella Biblioteca del Dipartimento di Matematica.
Lezioni
Esami
Avanzamento Materia: 
00% al 19-04-2024.