Sistemi lineari: differenze tra le versioni

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Versione delle 01:47, 25 dic 2007

Lezione 5: Tecniche di calcolo dei sistemi lineari

Un sistema lineare è di m equazioni in n incognite del tipo

abbiamo già visto che possiamo provare a risolvere utilizzando il metodo di sostituzione oppure l'Algoritmo di Gauss nel caso il sistema sia quadrato, cioè . Vediamo ora dei metodi più efficaci per risolvere un qualunque sistema lineare.

Riduzione a Scala e Algoritmo di Gauss-Jordan

Definizione: Una matrice si dice a scala se è siffatta

Gli * indicano che può esserci qualsiasi cosa e i (quindi tutti non nulli) sono gli pivot della matrice a scala.

Il sistema lineare associato si dice sistema a scala.

La matrice a scala ed il Metodo di Gauss-Jordan non è altro che la generalizzazione di quello che avevamo visto brevemente per le matrici quadrate. Prima di studiarne le proprietà teoriche, vediamo come funziona e facciamo qualche esempio pratico per fissare le idee.

Come anticipato prima, il metodo di Gauss-Jordan è molto simile all'eliminazione di Gauss per le matrici quadrate, cioè è un metodo che tramite operazioni elementari (quali lo scambio di righe, combinazioni lineari, ecc...) trasforma una matrice qualsiasi in una matrice a scala e di conseguenza trasforma il generico sistema in un sistema a scala equivalente .

Partendo da un sistema lineare , il metodo consiste nei seguenti passaggi:

  • Se e' la matrice nulla, abbiamo ovviamente finito.
  • Se non e' la matrice nulla, consideriamo la prima colonna che presenta un coefficiente non nullo (se necessario e' possibile scambiare di posto le righe della matrice per avere tale coefficiente il piu' a sinistra possibile e nella prima riga, all'inizio della matrice). Sia questa colonna e chiamiano tale valore non nullo pivot, in questo caso
  • Rendiamo nulli tutti i valori della colonna j-esima sommando alle righe una opportuna combinazione lineare.
  • Andiamo avanti considerando la colonne successiva ad della riga 2 fino a che non troviamo una colonna avente coefficiente non nullo. Sia tale valore e procediamo come prima fino alla riga
  • Se dalla riga in poi sono tutte nulle o e' l'ultima riga, abbiamo finito. Altrimenti continuiamo il procedimento.
  • Una volta ottenuta una matrice a scala, ripetiamo il procedimento all'indietro per ottenere le soluzioni.

Come si nota subito, il procedimento e' molto simile a quello dell'eliminazione di Gauss. Ma un esempio dovrebbe chiarire molto meglio il l'algoritmo.

Esempio 1 Consideriamo il seguente sistema lineare
e la sua matrice associata
A non e' nulla e il primo elemento diverso da zero che incontriamo e' proprio . Quindi e procediamo ad annullare tutti i termini della prima colonna dalla riga 2 in poi con una combinazione lineare del tipo
cioe' abbiamo sostiuito la riga con e la riga con . La sostituzione comprende anche la colonna dei termini noti.

Ripetiamo il procedimento passando alla colonna (e riga) successive, notando che la seconda riga ha un termine non nullo (nella colonna 3). Poniamo allora e ripetiamo il procedimento di prima. Questa volta abbiamo che ci da' la matrice

Ci accingiamo a ripetere nuovamente il procedimento, ma questa volta notiamo che al di sotto della riga che abbiamo appena considerato, non abbiamo altre righe contenenti elementi non nulli. Percio' abbiamo finito, ottendo un sistema a scala e il corrispondente sistema lineare:

Il sistema ha due pivot e il vettore dei termini noti ha dimensione 2. Un corollario che vedremo dopo ci assicurera' che, a queste condizioni, il sistema ammette soluzioni.
Risolviamolo all'indietro, cioe' ripetiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan stavolta partendo dal basso: