Campionamento di segnali analogici (superiori): differenze tra le versioni

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=== Quanti bit? ===
=== Quanti bit? ===
La risposta sembrerebbe ovvia: aumentare il numero di bit, significa aumentare la precisione, quindi più bit è meglio. Non sempre. La risposta corretta è: qual è la precisione necessaria e sufficiente per il corretto funzionamento del mio sistema? Procediamo con alcuni esempi tratti dalla vita quotidiana.
La risposta sembrerebbe ovvia: aumentare il numero di bit, significa aumentare la precisione, quindi più bit è meglio. Non sempre. La risposta corretta è: qual è la precisione necessaria e sufficiente per il corretto funzionamento del mio sistema?
Procediamo con alcuni esempi tratti dalla vita quotidiana.


==== Il termostato ====
==== Il termostato ====

Versione delle 13:27, 31 lug 2020

lezione
lezione
Campionamento di segnali analogici (superiori)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 50%

In questa lezione si descrivono le principali differenze tra segnali analogici e numerici[1] e come si ottiene un segnale numerico partendo da un segnale analogico e – infine – come si riottiene il segnale analogico di partenza dal segnale numerico.

Definizioni

Musica memorizzata in formato analogico.

Si definisce segnale analogico un segnale che può assumere qualsiasi valore all'interno di un intervallo prefissato. Per fare un esempio, i segnali analogici sono quelli presenti in natura: hanno un valore, un qualsiasi valore che ha un suo minimo e un massimo.

A rigore, ogni segnale è analogico, poiché tutte le grandezze fisiche in natura, naturali o artificiali, sono costituite da numeri irrazionali. L'affermazione: «Il tavolo è lungo due metri» è un'approssimazione. Se usassimo strumenti di maggior precisione (come il calibro) o se – addirittura – osservassimo con la lente le estremità del tavolo stesso, ci accorgeremmo che, essendo composto da atomi in movimento non ha – a rigore – una lunghezza ben definita. Ma questa cosa non è importante perché quando acquistiamo un tavolo desideriamo che le sue misure siano appropriate a quelle dell'appartamento. Questa che può sembrare un'ampia parentesi (e pure fuori contesto) verrà ripresa in seguito.

Un esempio classico, tratto dalla musica, è il disco in vinile, nel cui solco è incisa la registrazione audio. Questa, partendo da un'oscillazione minima, fino a un'oscillazione massima, può assumere tutti i valori che sono compresi in questo dato intervallo.

Musica memorizzata in formato numerico.

Si definisce segnale numerico un segnale che può assumere un numero prestabilito e limitato di valori in un dato intervallo, pertanto rappresentabile mediante una successione di numeri interi che identificano ogni suo possibile valore.

Questa definizione, per come è concepita, fa sì che il segnale analogico e quello numerico siano due mondi diametralmente opposti. Il concetto di numero limitato di valori deriva dall'esigenza di assegnare un numero (o codice) al segnale. Non viene specificato quanti siano questi valori: soltanto che sono presenti in numero finito. Quest'esigenza è strategica per archiviare il segnale numerico nelle memorie che, per quanto possano essere grandi, non saranno mai di dimensioni infinite.

Pertanto, se non si pone un limite alla conoscenza, questa non potrà mai essere archiviata in sistemi numerici. Volendo continuare sulla traccia dell'esempio precedente, oggi la musica si memorizza con un'altra tecnologia: il compact disc: in questo caso il solco è ancora presente, ma la sua lettura restituisce numeri interi che, opportunamente decodificati, descrivono la musica memorizzata nel supporto.

Un ulteriore esempio della necessità di limitare la conoscenza, anche se nota, sono i numeri irrazionali di cui si è accennato: tutti sappiamo che è il rapporto tra la circonferenza e il diametro del cerchio. Tuttavia, nessuno conosce il suo valore. Nessuno. Se si intende il suo esatto valore numerico, poiché questa conoscenza supererebbe la capacità di tutte le memorie di massa del pianeta messe assieme.

Inoltre, come già accennato, non sempre la conoscenza di un dato - con elevata precisione - rappresenta un'informazione utile.

Circuito sample and hold

Principio di funzionamento di un circuito sample and hold.

Il primo passaggio per convertire un segnale analogico in un segnale numerico consiste nell'osservarlo in determinati istanti, durante i quali acquisire il suo valore. Tuttavia, in questa fase d'acquisizione il segnale continuerà a variare il suo valore, inficiando la precisione con cui si esegue la conversione analogico/numerica.

Pertanto, dato un segnale in ingresso, la prima cosa che si inserisce è il circuito sample and hold, il quale osserva il segnale solo negli istanti di campionamento, e mantiene – ai capi del condensatore – tale valore per il tempo necessario ad acquisirlo.

Campionamento

Fase di campionamento.

Il campionamento – in senso stretto – consiste nell’osservare il segnale analogico solo in determinati istanti detti istanti di campionamento. Il circuito sample and hold, pertanto, è funzionale a questo scopo. Si decide di osservare il segnale solo in alcuni istanti, riducendo così l'asse del tempo da un numero di elementi infiniti a un numero di elementi finiti.

Secondo il Teorema di Shannon, se la frequenza di campionamento è superiore al doppio della banda del segnale da campionare () è possibile ricostruire il segnale di partenza (analogico) senza errori se si sono acquisiti un numero infinito di campioni. Naturalmente, questo non sarà mai possibile, però l'asserzione di fondo è semplice: a livello teorico la procedura di campionamento (osservare solo una parte del segnale) non riduce la conoscenza sul segnale stesso.


Quantizzazione

Fase di quantizzazione.
Rumore di quantizzazione dovuto al campionamento di un'onda sinusoidale.

La quantizzazione, invece, consiste nel suddividere l'asse delle ascisse del segnale in intervalli, dove è il numero di bit. Volendo fare un parallelo con la procedura del campionamento, nel campionamento si suddivide l'asse del tempo, ora si suddivide l'asse delle ascisse, corrispondente alla grandezza fisica in oggetto (quasi sempre corrente o tensione elettrica).

A differenza della fase di campionamento, il processo di quantizzazione introduce un errore relativo pari a , ovvero pari all’ampiezza della metà di un singolo bit. Infatti se si utilizzano, come nell'esempio di figura, 3 bit, si ottengono un numero di livelli di quantizzazione pari a . Questo significa che il segnale, dal suo valore minimo al suo valore massimo è stato diviso in otto parti e questa sarà la conoscenza che – d'ora in avanti – si avrà su lui. Pertanto, l'errore commesso può variare a seconda di quanto il segnale si discostava dal livello di quantizzazione nell'istante di campionamento. Il caso peggiore è quando il segnale analogico si trova a metà tra un livello e il successivo. Pertanto l'errore relativo, in questo caso, sarà pari a . Sì, abbastanza alto.

In figura viene mostrata la quantizzazione a 4 bit di un segnale sinusoidale occupante l'intera ampiezza disponibile. In rosso è visibile il segnale analogico, in verde il segnale numerico campionato e quantizzato, in blu viene mostrato, istante per istante, l'errore di quantizzazione. Questo errore, come anticipato, può assumere un valore – in termini assoluti – minore o uguale alla metà del bit meno significativo.

Quanti bit?

La risposta sembrerebbe ovvia: aumentare il numero di bit, significa aumentare la precisione, quindi più bit è meglio. Non sempre. La risposta corretta è: qual è la precisione necessaria e sufficiente per il corretto funzionamento del mio sistema?

Procediamo con alcuni esempi tratti dalla vita quotidiana.

Il termostato

Dovendo regolare la temperatura di un ambiente (e quindi conoscerla) quanti bit utilizziamo?

Risposta al quesito

Partiamo da concetti base: si tratta di accendere il riscaldamento, quando la temperatura scende al di sotto di una soglia prefissata e spegnerlo quando si raggiunge un livello di comfort adeguato. Idem per la stagione estiva, ma orientato all'accensione e spegnimento di un climatizzatore. Quali sono i valori di temperatura minima e temperatura massima in un ambiente? Approssimiamo (al di sotto le tubature si gelerebbero) e (al di sopra siamo cotti).

Ora la domanda si sposta a: «con quale precisione vogliamo determinare la temperatura di accensione e spegnimento dei termosifoni?» può essere ritenuto un valore accettabile. Pertanto, i livelli necessari saranno:

Attenzione: 80 non è il numero dei bit, ma dei livelli. Per conosce il numero di bit occorre estrarre il logaritmo in base 2 di e – se non intero – arrotondarlo sempre per eccesso (il mezzo bit devono ancora inventarlo). Si ha:

7 bit, infatti, corrispondono a 128 livelli, mentre 6 bit a 64 livelli. Se manca anche un solo livello, purtroppo, bisogna scegliere il bit successivo.

Il problema si conclude con il periodo di campionamento . La temperatura ha una sua inerzia, inutile misurarla ogni millisecondo. Un valore tipico per il campionamento è .

Codifica

La codifica, infine, produce una successione di dati numerici interi positivi.

A detti dati può essere aggiunta una ridondanza, oppure una codifica al fine di comprimerli o crittografarli, come verrà illustrato in seguito.

Perché il segnale numerico è strategico

  1. Il segnale analogico è affetto da rumore, come quello numerico. Ma il segnale numerico, per costruzione, ci consente di discriminare i livelli ‘alto’ e ‘basso’.
  2. Il segnale numerico può essere codificato (introducendo ridondanza, criptazione, eccetera).
Perché il segnale numerico è strategico

Come è visibile dall'immagine sovrastante, ora non ha più senso parlare di rapporto segnale/rumore . La qualità del segnale numerico viene valutata in base alla Probabilità di Errore ().

La è pari al numero di bit errati in rapporto ai bit trasmessi:

La , pertanto, è la probabilità che un singolo bit sia trasmesso erroneamente.

Questo non perché il rumore si sia dissolto. È presente nel segnale analogico come in quello numerico. Nella simulazione di figura, il rumore – sia nel segnale analogico, sia nel segnale numerico – è il medesimo in ogni istante. Tuttavia il segnale acquisito o trasmesso ha con sé, oltre al segnale stesso, il rumore. Per quanto riguarda il segnale analogico, non è possibile determinare se un dato valore è dovuto al segnale o se è un'oscillazione del rumore. Nel caso del segnale numerico, invece, per costruzione vengono utilizzati due valori numerici: zero e uno, corrispondenti a due diversi valori di tensioni o correnti. Così facendo è possibile affermare: se il segnale è al di sopra di un dato valore lo si considera a livello logico alto; viceversa a livello logico basso.

Premesso questo, solo se il rumore sarà talmente intenso da superare la linea tratteggiata il bit verrà interpretato erroneamente.

Note

  1. Molti testi preferiscono la dizione digitale, in luogo di numerico. Utlizzando la dizione numerico si sottolinea che il segnale è composto da una sequenza di numeri interi. Viceversa digitale deriva dall'inglese digit (cifra), il quale - a sua volta - è figlio del latino digitus (dito): il simbolo con cui i romani indicavano il numero 1.