Materia:Meccanica quantistica: differenze tra le versioni
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==Concetti fondamentali== |
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=== Funzione d'onda === |
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Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una '''funzione d'onda''' (complessa) <math>\Psi(q,t)</math>, il quadrato del modulo della quale dà la distribuzione di probabilità delle coordinate <math>q</math> del sistema all'istante <math>t</math>. |
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=== Autovalori e autofunzioni === |
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# [[Fisica quantistica/Concetti fondamentali|Concetti fondamentali]] |
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Consideriamo una grandezza fisica <math>f</math> caratteristica di un sistema quantistico. Gli '''autovalori''' della grandezza <math>f</math> sono i valori <math>f_n</math> che la grandezza può assumere, e le '''autofunzioni''' <math>\Psi_n</math> sono le funzioni d'onda degli stati in cui <math>f=f_n</math>. |
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# [[Fisica quantistica/Momento angolare|Momento angolare]] |
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# [[Fisica quantistica/Equazione di Schrödinger|Equazione di Schrödinger]] |
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=== Operatori === |
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Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza <math>f</math> sono determinati dall'equazione |
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# [[Fisica quantistica/Atomi|Atomi]] |
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:<math>\hat f\Psi=f \Psi</math> |
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dove <math>\hat f</math> è l''''operatore''' associato alla grandezza. |
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Il valore medio di <math>f</math>, nello stato descritto dalla funzione d'onda |
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<math>\Psi</math>, è |
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:<math><f>=\int \Psi^*\hat f\Psi\, dq</math> |
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=== Spettro discreto === |
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Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza <math>f</math> con uno spettro discreto: |
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:<math>\Psi=\sum a_n \Psi_n \qquad a_n=\int \Psi_n^*\Psi\, dq</math> |
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=== Spettro continuo === |
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Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza <math>f</math> con uno spettro continuo: |
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:<math>\Psi(q)=\int a_f \Psi_f(q)\,df \qquad a_f=\int \Psi_f^*(q)\Psi(q)\, dq</math> |
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=== Operatore impulso === |
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Operatore dell'impulso di una particella: |
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:<math>\hat \mathbf{p}=-i\hbar \nabla</math> |
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Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate: |
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:<math>[\hat{p}_i,x_j]=-i\hbar \delta_{ij}</math> |
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Relazioni di indeterminazione: |
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:<math>\Delta p_i \Delta x_i \sim \hbar</math> |
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Il valore minimo dell'indeterminazione è <math>\hbar/2</math>, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana. |
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=== Operatore hamiltoniano === |
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Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico: |
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:<math>\hat \mathcal{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}</math> |
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Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i '''livelli energetici''' <math>\mathcal{E}_n</math>. A questi valori corrispondono gli '''stati stazionari''' del sistema. |
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Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente: |
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:<math>\Psi_n(q,t)=\exp |
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\left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{E}_n t\right)\psi_n(q)</math> |
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Lo '''stato fondamentale''' corrisponde al valore minimo <math>\mathcal{E}_0</math> dell'energia che il sistema può assumere. |
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A un '''livello degenere''' corrispondono diversi stati stazionari. |
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Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri. |
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=== Matrici === |
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Gli elementi di matrice di una grandezza <math>f</math> |
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sono definiti dallo sviluppo delle funzioni <math>\hat f \psi_n</math> |
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secondo le autofunzioni dell'energia: |
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:<math>f_{mn}=\int \psi_m^* \hat{f}\psi_n\,dq</math> |
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Gli elementi diagonali <math>f_{nn}</math> sono i valori medi della grandezza |
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<math>f</math> negli stati <math>\psi_n</math> |
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Elementi di matrice dipendenti dal tempo: |
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:<math>f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega_{mn}t}, \qquad |
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\omega_{mn}= \frac{\mathcal{E} _m-\mathcal{E} _n}{\hbar}</math> |
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# [[Momento angolare]] |
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# [[Equazione di Schrödinger]] |
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# [[Teoria delle perturbazioni]] |
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# [[Atomi]] |
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# [[Molecole biatomiche]] |
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[[Categoria:Corso di Fisica|Quantistica]] |
Versione delle 00:49, 26 ago 2007
Concetti fondamentali
Funzione d'onda
Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda (complessa) , il quadrato del modulo della quale dà la distribuzione di probabilità delle coordinate del sistema all'istante .
Autovalori e autofunzioni
Consideriamo una grandezza fisica caratteristica di un sistema quantistico. Gli autovalori della grandezza sono i valori che la grandezza può assumere, e le autofunzioni sono le funzioni d'onda degli stati in cui .
Operatori
Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza sono determinati dall'equazione
dove è l'operatore associato alla grandezza.
Il valore medio di , nello stato descritto dalla funzione d'onda , è
Spettro discreto
Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza con uno spettro discreto:
Spettro continuo
Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza con uno spettro continuo:
Operatore impulso
Operatore dell'impulso di una particella:
Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:
Relazioni di indeterminazione:
Il valore minimo dell'indeterminazione è , e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.
Operatore hamiltoniano
Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:
Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici . A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:
Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo dell'energia che il sistema può assumere.
A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.
Matrici
Gli elementi di matrice di una grandezza sono definiti dallo sviluppo delle funzioni secondo le autofunzioni dell'energia:
Gli elementi diagonali sono i valori medi della grandezza negli stati
Elementi di matrice dipendenti dal tempo: