Il formalismo della meccanica quantistica

Spazio delle funzioni d'onda

Nelle lezioni precedenti si è puntualizzato il fatto che lo stato di una particella in meccanica quantistica è descritto da una funzione d'onda $\psi (\mathbf {r} ,t)$, e che il suo modulo al quadrato, $|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}$, rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nell'elemento di volume $d^{3}r$ al tempo $t$. Ne consegue che lo spazio delle funzioni d'onda dev'essere un sottoinsieme di $L^{2}$. Infatti, la probabilità di trovare la particella nello spazio dev'essere uguale a 1 e dunque deve risultare:

$\int |\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}r=1$

intendendo come dominio di integrazione tutto lo spazio. Tale sottospazio di $L^{2}$ viene indicato con ${\mathfrak {F}}$ e costituisce uno spazio vettoriale. Date due funzioni d'onda $\psi _{1}(\mathbf {r} )$ e $\psi _{2}(\mathbf {r} )$ di ${\mathfrak {F}}$ è definito il loro prodotto scalare:

$(\phi _{1},\phi _{2})=\int {\phi _{1}^{*}}(\mathbf {r} )\phi _{2}(\mathbf {r} )d^{3}r$

dove con ${\phi _{1}^{*}}$ si intende il complesso coniugato di ${\phi _{1}}$.

Tale prodotto scalare gode di alcune semplici proprietà. Innanzitutto:

$(\phi _{1},\phi _{2})=(\phi _{2},\phi _{1})^{*}$

Si può facilmente dimostrare che il prodotto scalare in ${\mathfrak {F}}$ è una forma sesquilineare, ovvero lineare rispetto al primo argomento e antilineare rispetto al secondo argomento. Il prodotto scalare in ${\mathfrak {F}}$ induce la norma:

${\sqrt {(\phi ,\phi )}}={\sqrt {\int |\phi ^{2}(\mathbf {r} )|d^{3}r}}$

che è evidentemente un numero reale, non negativo.

Due vettori di ${\mathfrak {F}}$ sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.