Quantità di moto

La quantità di moto $P$ di un corpo è una grandezza fisica definita come il prodotto tra la sua massa e la sua velocità, cioè $P=mv$, con unità di misura $kg\times m/s$.

Più il valore della quantità di un corpo è elevata, più è difficile rallentarlo.

Conservazione della quantità di moto

Se consideriamo un urto tra due corpi in cui non agiscono forze esterne (si dice che è un sistema isolato), la quantità di moto si conserva, cioè la quantità di moto totale iniziale e quella totale finale sono uguali. Questa legge è nota come legge della conservazione della quantità di moto.

Impulso

L'impulso è una grandezza fisica collegata alla quantità di moto, e corrisponde a
$I=F\times t$. Per il teorema dell'impulso, $I=P_{f}-P_{i}$, cioè l'impulso di una forza $F$ che agisce su un corpo per un certo intervallo di tempo $t$ è uguale alla variazione della quantità di moto $P$ del corpo stesso, nel medesimo intervallo di tempo (gli indici $i$ e $f$ stanno per iniziale e finale). Dimostriamo questo teorema, iniziando scrivendo la formula per calcolare l'impulso:

$I=F\times t$. Per la seconda legge della dinamica $F=m\times a$ (il valore della forza è il prodotto di massa e accelerazione), sostituendo otteniamo $I=ma\times t$. Ma $a\times t=v_{f}-v_{i}$. Sostituendo nuovamente otteniamo la formula $I=m\times (v_{f}-v_{i})$, che possiamo riscrivere come $I=mv_{f}-mv_{i}=P_{f}-P_{i}$, come volevamo dimostrare.

Urti

Gli urti tra più corpi si dividono diverse tipologie. Vediamo le principali.

Urto anelastico

Animazione che riproduce un urto anelastico tra due corpi

In un urto anelastico i due corpi che si scontrano sono solidali, cioè rimangono attaccati. Pertanto, la loro velocità finale è la stessa: $v$_$1$^$f$ $=$ $v$_$2$^$f$. In questa situazione vale la legge della conservazione della quantità di moto illustrata precedentemente:

$m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=(m_{1}+m_{2})v_{f}$

Da quest'equazione ricaviamo che in un urto anelastico possiamo calcolare la velocità di finale dei due corpi utilizzando la formula

$v_{f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}$, dove $v_{1i}$ e $v_{2i}$ sono le velocità iniziali del primo e del secondo corpo. $m_{1}$ e $m_{2}$ sono invece le due masse.

Urto elastico

Gli atomi in agitazione termica sono coinvolti in urti essenzialmente elastici

Negli urti elastici, invece, i due corpi non rimangono attaccati, le loro velocità finali hanno quindi valori diversi. Inoltre, si conservano sia l'energia cinetica $K$ che la quantità di moto $P$. Scriviamo il sistema

${\begin{cases}K_{i}=K_{f}\\P_{i}=P_{f}\end{cases}}$

che possiamo riscrivere come

${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}v_{1i}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2i}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1f}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2f}^{2}\\m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}\end{cases}}$

In entrambe le equazioni possiamo raccogliere i termini $m_{1}$ e $m_{2}$ e poi dividere la prima equazione per la seconda. Inoltre dobbiamo ricordarci del prodotto notevole della differenza di quadrati: $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$. Seguendo questi passaggi otteniamo

${\begin{cases}m_{1}v_{1i}^{2}-m_{1}v_{1f}^{2}=m_{2}v_{2f}^{2}-m_{2}v_{2i}^{2}\rightarrow m_{1}(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f})=m_{2}(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})\\m_{1}(v_{1i}-v_{1f})=m_{2}(v_{2f}-v_{2i})\end{cases}}$

e poi dividiamo membro a membro:

$v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}$

Risolvendo, il sistema appare così:

${\begin{cases}v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}\\m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}\end{cases}}$

Rielaborando le equazioni possiamo trovare le formule delle due velocità finali:

${\begin{cases}v_{1f}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2f}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\end{cases}}$