Proporzioni (scuola media)

Una proporzione è un'uguaglianza di due rapporti.

$a:b=c:d$

Ciò significa che il risultato delle divisioni $a:b$ e $c:d$ è lo stesso.

Nomi dei termini

Sempre tenendo come esempio la proporzione $a:b=c:d$, possiamo assegnare ai termini alcuni nomi:

• $b$ e $c$ sono detti medi proporzionali (o semplicemente medi) e sono i due termini interni rispetto all'uguale,
• $a$ e $d$ sono detti estremi proporzionali (o semplicemente estremi) e sono i due termini esterni rispetto all'uguale.
• $a$ e $c$ sono detti antecedenti e sono il primo termine di ciascuna delle due divisioni.
• $b$ e $d$ sono detti conseguenti e sono il secondo termine di ciascuna delle due divisioni.

Proprietà

Le proporzioni possiedono alcune proprietà, descritte di seguito.

Proprietà fondamentale

La proprietà fondamentale ci dice che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi:

$a\times d=b\times c$

Esempio

Nella proporzione $10:5=2:1$, il prodotto dei medi è uguale a $5\times 2=10$ e quello degli estremi a $10\times 1=10$.

Proprietà dell'invertire

Se all'interno di una proporzione scambiamo ogni antecedente con il proprio conseguente, otteniamo un'altra proporzione:

$a:b=c:d$ → $b:a=d:c$

Esempio

Nella proporzione $10:5=2:1$, scambiando i termini come descritto otteniamo $5:10=1:2$: poiché il risultato delle due divisioni $5:10$ e $1:2$ è uguale, anche questa seconda espressione è una proporzione.

Proprietà del permutare

Permutare i medi

Se all'interno di una proporzione scambiamo i due medi otteniamo un'altra proporzione.

$a:b=c:d$ → $a:c=b:d$

Permutare gli estremi

Se all'interno di una proporzione scambiamo i due estremi otteniamo un'altra proporzione.

$a:b=c:d$ → $d:b=c:a$

La proprietà può anche essere applicata sia ai medi che agli estremi, si ottiene comunque una proporzione:

$a:b=c:d$ → $d:c=b:a$

Esempi

Nella proporzione $10:5=2:1$, scambiando i medi come descritto otteniamo $10:2=5:1$: poiché il risultato delle due divisioni $10:2$ e $5:1$ è uguale, anche questa seconda espressione è una proporzione.

Allo stesso modo, scambiando gli estremi come descritto otteniamo $1:5=2:10$: poiché il risultato delle due divisioni $1:5$ e $2:10$ è uguale, anche questa seconda espressione è una proporzione.

Infine, se scambiamo sia i medi che gli estremi come descritto otteniamo $1:2=5:10$: poiché il risultato delle due divisioni $1:2$ e $5:10$ è uguale, anche questa seconda espressione è una proporzione.

Proprietà del comporre

In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo oppure al secondo come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo o al quarto.

$a:b=c:d$ → $(a+b):a=(c+d):c$ oppure $a:b=c:d$ → $(a+b):b=(c+d):d$

Esempio

Nella proporzione $10:5=2:1$, se applichiamo la proprietà descritta otteniamo $(10+5):5=(2+1):1$ → $15:5=3:1$. Poiché il risultato delle due divisioni $15:5$ e 3 : 1 è uguale, anche questa seconda espressione è una proporzione.

Proprietà dello scomporre

In una proporzione, la differenza del primo e del secondo termine sta al primo oppure al secondo come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo o al quarto.

$a:b=c:d$ → $(a-b):a=(c-d):c$ oppure $a:b=c:d$ → $(a-b):b=(c-d):d$

Esempio

Nella proporzione $10:5=2:1$, se applichiamo la proprietà descritta otteniamo $(10-5):5=(2-1):1$ → $5:5=1:1$. Poiché il risultato delle due divisioni $5:5$ e 1 : 1 è uguale, anche questa seconda espressione è una proporzione.

Risolvere una proporzione

Per risolvere una proporzione possiamo utilizzare la proprietà fondamentale (il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi). Immaginiamo di avere la proporzione
$a:x=c:d$
e di conoscere i valori di $a$, $b$ e $c$. Per calcolare il valore di $x$ possiamo porre la condizione
$a\times d=x\times c$
da cui ricaviamo che
$x=\frac{a\times d}{c}$.

Esercizi

1

Quanto vale $x$ nella proporzione $21:x=14:2$?

	$x=3$
	$x=2$
	$x=7$
	$x=0$

2

Quanto vale $x$ nella proporzione $x:3=2:6$?

	$x=2$
	$x=4$
	$x=1$
	$x=-2$

3

Quanto vale $x$ nella proporzione $7:x=x:7$?

	$x=1$
	$x=7$
	$x=49$
	$x=-7$

4

Quanto vale $x$ nella proporzione $(4-x):x=14:7$? (Suggerimento: utilizza la proprietà del comporre per il secondo termine)

	$x=\frac{2}{3}$
	$x=\frac{3}{2}$
	$x=2$
	$x=\frac{4}{3}$

5

Quanto vale $x$ nella proporzione $(3+x):x=6:3$? (Suggerimento: utilizza la proprietà dello scomporre per il secondo termine)

	$x=2$
	$x=3$
	$x=5$
	$x=-1$