Proporzionalità matematica (scuola media)

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La proporzionalità, cioè la relazione tra grandezze o cose tra di loro proporzionali, si divide in diretta e inversa.

Proporzionalità diretta[modifica]

Due grandezze variabili (che possono variare) Y e X che dipendono l’ una dall'altra si dice che sono direttamente in proporzione fra loro se: quando la X diventa doppia, tripla, quadrupla,… anche la Y diventa doppia, tripla, quadrupla,….

Es.

Peso delle mele in kg Costo delle mele in euro
1 3,00
2 6,00
3 9.00
4 12,00
5 15,00
... ...
X Y

Sono esempi di grandezze direttamente proporzionali:

  • Il peso di una merce ed il suo costo in euro
  • Il lato di un poligono regolare e il suo perimetro

Il rapporto tra X e Y è costante 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15 = Y/X=1/3

Rappresentazione grafica della proporzionalità diretta[modifica]

La proporzionalità diretta può essere rappresentata sul piano cartesiano. Il diagramma ottenuto rappresentando la proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall'origine degli assi. Per esempio la relazione Y = 2X si rappresenta con il seguente grafico.

Grafico della funzione di proporzionalità diretta
X Y
1 2
2 4
3 6
4 8

Problemi del tre semplice diretto[modifica]

Prendiamo come esempio : il peso di alcune mele e il loro costo in euro

Il signor Mario compra 3 kg di mele che costano un 3 euro al kg. Se avesse comprato 10 kg di mele quanto avrebbe speso?

DATI: • 3 kg = peso mele • 3 euro = costo al kg • 10 kg = peso mele • Costo di 10 kg di mele = ?

PROCEDIMENTO:

peso mele in kg costo mele in euro
3 9
10 X


RISOLUZIONE: 3:10=9:X X =(10X9):3=30 euro

RISPOSTA: Il signor Mario se avesse comprato 10 kg di mele avrebbe speso 30 euro

Si dicono problemi del tre semplice perché si sanno tre dati e si deve calcolare il quarto , utilizzando le proporzioni.

Proporzionalità inversa[modifica]

Due grandezze variabili X e Y si dice che sono inversamente in proporzione se quando la X diventa doppia, tripla, quadrupla,… la Y diventa la meta, la terza parte,la quarta parte,…

Es:

numero operai tempo impiegato per compiere un determinato lavoro
1 18
2 9
3 6
6 3
9 2
18 1

Sono esempi di proporzionalità inversa:

  • Il numero di operai e il tempo impiegato per compiere un certo lavoro
  • La velocità di un mezzo e il tempo in piegato per percorrere un dato tragitto

Il prodotto tra X e Y è costante 1X18= 18 2X9=18 3X6=18 9X2=18 18X1=18 YxY=18

Rappresentazione grafica della proporzionalità inversa[modifica]

La proporzionalità inversa può essere rappresentata sul piano cartesiano. Il diagramma ottenuto rappresentando la proporzionalità inversa è un'iperbole equilatera. '

Grafico della funzione di proporzionalità inversa

K=XxY=6

X Y
6 1
3 2
2 3
1 6

Problemi del tre semplice inverso[modifica]

Prendiamo come esempio il numero di operai e il tempo impiegato per svolgere un determinato lavoro

Per compiere un certo lavoro 10 operai ci impiegano 20 giorni. Quanto ci impiegherebbero 50 operai a compiere lo stesso lavoro

DATI: • 10 = numero operai • 20 = tempo impiegato per compiere il lavoro • 50= numero operai • Tempo impiegato con 50 operai per compiere il lavoro = ?

PROCEDIMENTO: Numero operai Giorni impiegati per compiere il lavoro

numero operai tempo impiegato per compiere il lavoro
10 20
50 X

RISOLUZIONE:

10:50=X:20 X=10X20=200:50=4 RISPOSTA: 50 operai a compiere lo stesso lavoro ci impiegherebbero 4 giorni


Si dicono problemi del tre semplice perché si sanno tre dati e si deve calcolare il quarto , utilizzando le proporzioni.